Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKatı Cisimler

Taban yarıçapı ve yüksekliği, içerisine yerleştirilen iki adet eş küreye teğet olacak şekilde tasarlanmış bir dik dairesel silindir verilmiştir. Kürelerden her birinin hacmi 36π cm336\pi \text{ cm}^3 olduğuna göre, bu silindirin hacmi kaç π cm3\pi \text{ cm}^3 tür?

  1. A
    54
  2. B
    72
  3. 108Cevap
  4. D
    144
  5. E
    432

Cevap

Silindirin hacmi 108π cm3108\pi \text{ cm}^3 olarak hesaplanır.
Kürenin hacminden hareketle yarıçap 3 cm3 \text{ cm} olarak bulunur. Küreler silindire teğet olduğu için silindirin taban yarıçapı 3 cm3 \text{ cm} ve yüksekliği iki kürenin çapları toplamı olan 12 cm12 \text{ cm} olur. Bu değerlerle silindir hacmi 108π108\pi olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kürenin hacim formülünü kullanarak yarıçapı bulunuz.
V=43πr3=36π⇒r3=27⇒r=3 cmV = \frac{4}{3}\pi r^3 = 36\pi \Rightarrow r^3 = 27 \Rightarrow r = 3 \text{ cm}
Kürenin hacmi verildiği için önce temel boyut olan yarıçapın belirlenmesi gerekir.
2
Silindirin taban yarıçapını (RR) belirleyiniz.
R=r=3 cmR = r = 3 \text{ cm}
Küreler silindirin yan yüzeyine teğet olduğu için silindirin yarıçapı kürenin yarıçapına eşittir.
3
Silindirin yüksekliğini (hh) belirleyiniz.
h=2×(2r)=4r=12 cmh = 2 \times (2r) = 4r = 12 \text{ cm}
İki eş küre üst üste ve silindirin tabanlarına teğet yerleştirildiği için silindirin yüksekliği, iki kürenin çapları toplamına eşittir.
4
Silindirin hacim formülünü (V=πR2hV = \pi R^2 h) uygulayınız.
V=π×32×12=9×12×π=108π cm3V = \pi \times 3^2 \times 12 = 9 \times 12 \times \pi = 108\pi \text{ cm}^3
Elde edilen boyutlar silindir hacim formülünde yerine konularak toplam hacim hesaplanır.

Anahtar Kavram

İç içe geçmiş katı cisimlerde teğetlik durumları ve hacim ilişkileri.

İpuçları

1
Önce kürenin hacim formülünü kullanarak bir kürenin yarıçapını bulmaya çalışın.
2
Silindirin yüksekliğinin, içindeki iki kürenin çaplarının toplamına eşit olduğunu fark edin.
3
Kürenin yarıçapı 3 cm3 \text{ cm} ise silindirin yüksekliği 12 cm12 \text{ cm} ve taban yarıçapı 3 cm3 \text{ cm} olur.

Daha Fazla Pratik

Silindir içindeki boşluğun hacmini bulmak için silindirin hacminden kürelerin hacimleri toplamını çıkarabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru