Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorİkizkenar ve Eşkenar Üçgen

Kenar uzunlukları eşit olan bir ABCABC eşkenar üçgeninin iç bölgesinde bir PP noktası alınıyor. ∣PC∣=5|PC|=5 birim, ∣PB∣=12|PB|=12 birim ve ∣PA∣=13|PA|=13 birim olduğuna göre, m(BPC^)m(\widehat{BPC}) kaç derecedir?

  1. A
    90
  2. B
    120
  3. C
    135
  4. 150Cevap
  5. E
    165

Cevap

150
Verilen uzunluklar (5,12,135, 12, 13) Pisagor üçlüsünü çağrıştırsa da, bu üçgen doğrudan PP noktasında oluşmaz. Çözüm için BPCBPC üçgeni BB köşesi etrafında 60∘60^\circ döndürülür. Bu işlem sonucunda bir kenarı 12 olan eşkenar üçgen ve kenarları 5-12-13 olan bir dik üçgen yan yana gelir. Sorulan açı, eşkenar üçgenin 60∘60^\circ'lik açısı ile dik üçgenin 90∘90^\circ'lik açısının toplamı olan 150∘150^\circ'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Döndürme işlemi uygulayın
BPCBPC üçgenini BB köşesi etrafında saat yönünde 60∘60^\circ döndürerek BP′ABP'A üçgenini oluşturun.
Eşkenar üçgen sorularında, kenar uzunlukları verildiğinde 60∘60^\circ döndürme yaparak yeni bir eşkenar üçgen ve bilinen bir üçgen elde etmek standart bir çözüm yöntemidir.
2
Eşkenar üçgeni tespit edin
∣BP∣=12|BP|=12 ve döndürme açısı 60∘60^\circ olduğu için BPP′BPP' üçgeni eşkenar üçgendir. Dolayısıyla ∣PP′∣=12|PP'|=12 birim ve m(BP′P^)=60∘m(\widehat{BP'P})=60^\circ olur.
Tepe açısı 60∘60^\circ olan ikizkenar üçgen eşkenardır.
3
Oluşan diğer üçgenin kenarlarını inceleyin
Döndürme sonucunda ∣P′A∣=∣PC∣=5|P'A|=|PC|=5 birim olur. APP′APP' üçgeninin kenarları 55, 1212 (PP′PP') ve 1313 (APAP) birimdir.
Döndürme işlemi uzunlukları korur.
4
Dik açıyı bulun ve toplam açıyı hesaplayın
52+122=25+144=169=1325^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 olduğundan, APP′APP' üçgeni bir dik üçgendir ve hipotenüsü gören açı m(AP′P^)=90∘m(\widehat{AP'P})=90^\circ'dir. İstenen açı m(BPC^)=m(BP′A^)=60∘+90∘=150∘m(\widehat{BPC}) = m(\widehat{BP'A}) = 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ bulunur.
Pisagor teoreminin tersi gereği kenarları 5-12-13 olan üçgen dik üçgendir.

Anahtar Kavram

Eşkenar üçgen içindeki nokta problemlerinde döndürme (rotasyon) yöntemi

İpuçları

1
Bu tür sorularda, üçgenin içinde eşkenar üçgen oluşturacak şekilde bir döndürme (rotasyon) işlemi uygulamayı deneyin.
2
BPCBPC üçgenini BB köşesi etrafında, BCBC kenarı BABA kenarı üzerine gelecek şekilde 60∘60^\circ döndürün.
3
Döndürme sonrası oluşan yeni P′P' noktası için BPP′BPP' üçgeninin eşkenar, APP′APP' üçgeninin ise kenarlarını kontrol ederek (5-12-13) dik üçgen olduğunu görün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguyu kare içinde (90 derece döndürme) deneyin.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi kullanılarak da çözülebilir ancak çok daha karmaşık işlem gerektirir (PP etrafındaki açılar toplamı 360∘360^\circ olacak şekilde 3 denklem kurulur).
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İkizkenar ve Eşkenar Üçgen

Bu konudan daha fazla soru