Examkin

Soru

Zorluk: ZorKatı Cisimler

Dik kenar uzunlukları 1515 cm ve 2020 cm olan bir dik üçgen, hipotenüsü etrafında 360∘360^{\circ} döndürülüyor.

Buna göre, oluşan cismin hacmi kaç π\pi cm3\text{cm}^3 tür?

  1. A
    1000
  2. 1200Cevap
  3. C
    1500
  4. D
    2000
  5. E
    2500

Cevap

Oluşan cismin hacmi 1200π1200\pi cm3\text{cm}^3 tür.
Dik üçgen hipotenüsü etrafında döndürüldüğünde, taban yarıçapı üçgenin hipotenüse ait yüksekliği (h=12h=12) olan iki adet koni oluşur. Bu konilerin yükseklikleri toplamı hipotenüsün uzunluğuna (2525) eşittir. Hacim formülü kullanıldığında V=13πr2(h1+h2)V = \frac{1}{3}\pi r^2 (h_1+h_2) bağıntısından 1200π1200\pi bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bul.
15−20−2515-20-25 üçgeni olduğundan hipotenüs 2525 cm'dir.
Pisagor bağıntısı veya özel üçgen (3k−4k−5k3k-4k-5k) kuralı uygulanır.
2
Dönme ekseni olan hipotenüse ait yüksekliği (oluşacak cismin yarıçapını) hesapla.
Alan=15⋅202=25⋅h2⇒300=25h⇒h=12Alan = \frac{15 \cdot 20}{2} = \frac{25 \cdot h}{2} \Rightarrow 300 = 25h \Rightarrow h = 12 cm. Bu değer cismin yarıçapıdır (r=12r=12).
Üçgenin alanı iki farklı şekilde hesaplanarak yükseklik bulunur. Bu yükseklik, dönme sonucu oluşan taban dairesinin yarıçapıdır.
3
Oluşan cismin yapısını tanımla ve hacim formülünü uygula.
Cisim, tabanları çakışık iki koniden oluşur. Toplam hacim V=13πr2htoplamV = \frac{1}{3}\pi r^2 h_{toplam} formülü ile bulunur.
Hipotenüs etrafında dönme, taban yarıçapı rr ve yükseklikleri toplamı hipotenüs (2525) olan iki koni oluşturur.
4
Değerleri yerine yazarak toplam hacmi hesapla.
V=13⋅π⋅122⋅25=13⋅144⋅25⋅π=48⋅25⋅π=1200πV = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 12^2 \cdot 25 = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 25 \cdot \pi = 48 \cdot 25 \cdot \pi = 1200\pi.
İşlem sonucu.

Anahtar Kavram

Bir dik üçgenin hipotenüsü etrafında döndürülmesiyle, tabanları ortak iki koni (çift koni) oluşur. Bu cismin hacmi, taban yarıçapı hipotenüse ait yükseklik olan ve yükseklikleri toplamı hipotenüse eşit olan iki koninin hacimleri toplamıdır.

İpuçları

1
Bir dik üçgeni hipotenüsü etrafında döndürdüğünüzde, tabanları birbirine yapışık iki koni elde edersiniz.
2
Bu iki koninin taban yarıçapı, üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir. Öklid bağıntılarını veya alan formülünü kullanarak bu yüksekliği bulabilirsiniz.
3
Üçgenin kenarları 15-20-25'tir. Hipotenüse ait yükseklik h=(15×20)/25h = (15 \times 20) / 25 formülüyle bulunur. Oluşan cismin toplam hacmi için V=13πr2⋅(Hipotenu¨s)V = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot (Hipotenüs) formülünü kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, bir dikdörtgenin köşegeni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Alan hesabından yüksekliği bulmak yerine Öklid bağıntısı (1h2=1a2+1c2\frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{c^2}) kullanılabilir, ancak alan yöntemi (a⋅c=b⋅ha \cdot c = b \cdot h) bu sayılarla daha pratiktir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru