Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKartezyen Çarpım

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z:∣x∣≤2}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x| \le 2\}
B={y∈Z:1<y≤5}B = \{y \in \mathbb{Z} : 1 < y \le 5\}

Buna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin elemanlarından kaç tanesi y=x2+1y = x^2 + 1 eşitliğini sağlar?

  1. A
    2
  2. B
    3
  3. 4Cevap
  4. D
    5
  5. E
    6

Cevap

Şartı sağlayan 4 eleman vardır.
Soruda istenen eleman sayısı, AA kümesindeki xx değerlerinden yola çıkılarak hesaplanan y=x2+1y=x^2+1 değerlerinin BB kümesi içinde kalma durumuna göre belirlenir. A={−2,−1,0,1,2}A=\{-2,-1,0,1,2\} ve B={2,3,4,5}B=\{2,3,4,5\} olarak bulunur. x=0x=0 için elde edilen y=1y=1 değeri BB kümesine dahil değildir. Diğer 4 değer (−2,−1,1,2-2, -1, 1, 2) için elde edilen sonuçlar BB kümesindedir.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirle.
∣x∣≤2|x| \le 2 eşitsizliğini sağlayan tam sayılar: {−2,−1,0,1,2}\{-2, -1, 0, 1, 2\}.
Mutlak değer eşitsizliği −2≤x≤2-2 \le x \le 2 şeklinde açılır.
2
B kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirle.
1<y≤51 < y \le 5 eşitsizliğini sağlayan tam sayılar: {2,3,4,5}\{2, 3, 4, 5\}.
11 dahil değildir (küçüktür), 55 dahildir (küçük eşittir).
3
A kümesindeki her xx değeri için y=x2+1y = x^2 + 1 değerini hesapla ve sonucun B kümesinde olup olmadığını kontrol et.
Değerler kontrol ediliyor...
Bir sıralı ikilinin (x,y)∈A×B(x,y) \in A \times B olabilmesi için x∈Ax \in A ve y∈By \in B olmalıdır.
4
Hesaplamaları ve kontrolleri yap.
1. x=−2⇒y=(−2)2+1=5x = -2 \Rightarrow y = (-2)^2 + 1 = 5. (5∈B5 \in B, ✓ Geçerli)
2. x=−1⇒y=(−1)2+1=2x = -1 \Rightarrow y = (-1)^2 + 1 = 2. (2∈B2 \in B, ✓ Geçerli)
3. x=0⇒y=02+1=1x = 0 \Rightarrow y = 0^2 + 1 = 1. (1∉B1 \notin B, ✗ Geçersiz - Çünkü y>1y > 1 olmalı)
4. x=1⇒y=12+1=2x = 1 \Rightarrow y = 1^2 + 1 = 2. (2∈B2 \in B, ✓ Geçerli)
5. x=2⇒y=22+1=5x = 2 \Rightarrow y = 2^2 + 1 = 5. (5∈B5 \in B, ✓ Geçerli)
Bulunan y değerlerinin B kümesinin tanım aralığına uyup uymadığına bakılır.
5
Geçerli ikilileri say.
Toplam 4 geçerli ikili: (−2,5),(−1,2),(1,2),(2,5)(-2, 5), (-1, 2), (1, 2), (2, 5).
Sonuç adımı.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpım Alt Kümesi ve Bağıntı

İpuçları

1
Öncelikle A ve B kümelerinin elemanlarını açık bir şekilde (liste yöntemiyle) yazınız.
2
B kümesinin tanımındaki 1<y≤51 < y \le 5 ifadesine dikkat edin; 1 sayısı bu kümeye dahil değildir.
3
A kümesindeki her bir elemanı (xx) denklemde yerine koyun ve çıkan sonucun (yy) B kümesinde olup olmadığını tek tek kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Bağıntının grafiğinin çizilmesi ve kartezyen düzlemde gösterimi ile ilgili sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kartezyen Çarpım

Bu konudan daha fazla soru