Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKüme Kavramı ve Gösterimi

Pozitif tam sayılar kümesi (Z+\mathbb{Z}^+) üzerinde AA kümesi aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={n∈Z+∣n≤120 ve EBOB(n,12)=EBOB(n,18)}A = \{ n \in \mathbb{Z}^+ \mid n \le 120 \text{ ve } \text{EBOB}(n, 12) = \text{EBOB}(n, 18) \}

Buna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    77
  2. 80Cevap
  3. C
    83
  4. D
    90
  5. E
    107

Cevap

80
Verilen EBOB eşitliği, sayının 4'e ve 9'a tam bölünmemesi gerektiğini gösterir. 1'den 120'ye kadar olan 120 sayıdan, 4'ün veya 9'un katı olanlar çıkarıldığında geriye 80 sayı kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitlik koşulunu asal çarpanlar üzerinden analiz etme
EBOB(n, 12) = EBOB(n, 18) koşulu incelenir. 12=22⋅3112 = 2^2 \cdot 3^1 ve 18=21⋅3218 = 2^1 \cdot 3^2 dir. Eşitliğin sağlanması için n sayısının asal çarpanlarındaki 2 ve 3'ün kuvvetleri sınırlanmalıdır.
EBOB hesabı, asal çarpanların minimum üslerine bağlıdır.
2
Kuvvet sınırlarını belirleme
n sayısındaki 2'nin kuvveti aa, 3'ün kuvveti bb olsun. min⁡(a,2)=min⁡(a,1)\min(a, 2) = \min(a, 1) olması için a<2a < 2 (yani a=0a=0 veya 11) olmalıdır. Benzer şekilde min⁡(b,1)=min⁡(b,2)\min(b, 1) = \min(b, 2) olması için b<2b < 2 (yani b=0b=0 veya 11) olmalıdır.
Bu koşul, n sayısının 22=42^2=4 ile ve 32=93^2=9 ile tam bölünemeyeceği anlamına gelir.
3
İstenmeyen durumları sayma
1 ile 120 aralığında 4'e bölünenler: 120/4=30120/4 = 30 tane. 9'a bölünenler: 120/9=13120/9 = 13 tane (tam kısım). Hem 4 hem 9'a (yani 36'ya) bölünenler: 120/36=3120/36 = 3 tane.
Küme eleman sayısını bulmak için kapsama-dışlama prensibi uygulanır.
4
Kalan eleman sayısını hesaplama
Tüm sayılardan, 4'e veya 9'a bölünenlerin sayısı çıkarılır: 120−(30+13−3)=120−40=80120 - (30 + 13 - 3) = 120 - 40 = 80.
İstenen küme, 4 ve 9'un katı olmayan sayıları içerir.

Anahtar Kavram

EBOB özelliklerini kullanarak küme elemanlarını filtreleme ve kapsama-dışlama prensibi.

İpuçları

1
12 ve 18 sayılarını asal çarpanlarına ayırarak EBOB hesaplarını üslü ifadeler cinsinden yazmayı deneyin.
2
Bir sayının 12 ile EBOB'unun, 18 ile EBOB'una eşit olması için; o sayının içinde 222^2 (4) ve 323^2 (9) çarpanlarının bulunmaması gerekir.
3
Soruyu '1 ile 120 arasında 4'e veya 9'a bölünmeyen kaç sayı vardır?' şeklinde düşünebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, EKOK(n, 12) = EKOK(n, 18) koşulunu sağlayan n değerleri üzerine bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Tümleyenden gitmek yerine doğrudan sayma: 1-120 aralığında 2 veya 3 çarpanı içermeyenler (kalanlar) + sadece 2 içerenler + sadece 3 içerenler şeklinde gruplandırılabilir, ancak bu yöntem daha uzundur.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Kavramı ve Gösterimi

Bu konudan daha fazla soru