Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Alan

Şekildeki ABCABC üçgeninde m(BAC^)=150∘m(\widehat{BAC}) = 150^\circ olarak verilmiştir. ABAB kenarı üzerinde bir DD noktası ve ACAC kenarı üzerinde bir EE noktası alınarak, BCBC kenarına paralel bir [DE][DE] doğru parçası çiziliyor.

∣AD∣=4 cm|AD| = 4\text{ cm}, ∣DB∣=2 cm|DB| = 2\text{ cm} ve ∣AC∣=12 cm|AC| = 12\text{ cm} olduğuna göre, DBCEDBCE dörtgeninin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

  1. A
    6
  2. B
    8
  3. 10Cevap
  4. D
    12
  5. E
    20

Cevap

10
Doğru cevap 10'dur. Öncelikle ABCABC üçgeninin alanı sinüs teoremi ile 1/2⋅6⋅12⋅sin⁡(150∘)=181/2 \cdot 6 \cdot 12 \cdot \sin(150^\circ) = 18 bulunur. Benzerlik oranı 4/6=2/34/6=2/3 olduğundan, alanlar oranı (2/3)2=4/9(2/3)^2=4/9 olur. Küçük üçgenin alanı 18⋅4/9=818 \cdot 4/9 = 8 bulunur. Taralı dörtgen alanı ise tüm alandan bu parçanın çıkarılmasıyla 18−8=1018 - 8 = 10 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Büyük üçgenin (ABCABC) alanını sinüs alan formülü ile hesapla.
Alan(ABC) = 1/2 * |AB| * |AC| * sin(150°). |AB| = 4 + 2 = 6 cm. sin(150°) = 1/2. Alan = 1/2 * 6 * 12 * (1/2) = 18 cm².
İki kenar ve arasındaki açı bilindiğinde alan en kolay sinüs formülü ile bulunur.
2
Benzerlik oranını (k) belirle.
DE // BC olduğu için ADE ~ ABC benzerliği vardır. Benzerlik oranı k = |AD| / |AB| = 4 / 6 = 2/3'tür.
Paralellik, Temel Orantı Teoremi gereği benzer üçgenler oluşturur.
3
Alanların oranını (k²) hesapla ve ADE üçgeninin alanını bul.
Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir: (2/3)² = 4/9. Alan(ADE) = Alan(ABC) * (4/9) = 18 * 4/9 = 8 cm².
Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
4
İstenen dörtgenin alanını bulmak için çıkarma işlemi yap.
Alan(DBCE) = Alan(ABC) - Alan(ADE) = 18 - 8 = 10 cm².
Dörtgenin alanı, büyük üçgenin alanından kesilen küçük üçgenin alanının çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Sinüs Alan Formülü ve Benzerlik-Alan İlişkisi (k²)

İpuçları

1
Geniş açılı üçgenlerde alan hesabı için sinüs alan formülünü (1/2⋅a⋅b⋅sin⁡(α)1/2 \cdot a \cdot b \cdot \sin(\alpha)) hatırlayın. sin⁡(150∘)=sin⁡(30∘)\sin(150^\circ) = \sin(30^\circ)'dir.
2
Paralellik varsa benzerlik vardır. Benzerlik oranı (kk), kenarların oranıdır (∣AD∣/∣AB∣|AD|/|AB|).
3
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine (k2k^2) eşittir.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranının 1/3 olduğu bir üçgende, tabana paralel çizilen doğrunun ayırdığı bölgelerin alanları oranını inceleyen sorular çözün.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Alan

Bu konudan daha fazla soru