Examkin

Soru

Zorluk: ZorKartezyen Çarpım
AA, BB ve CC boş kümeden farklı kümeler olmak üzere,
s[(A×B)∩(A×C)]=12s[(A \times B) \cap (A \times C)] = 12
s(A)=4s(A) = 4
s(B∪C)=11s(B \cup C) = 11
s(B)=s(C)+2s(B) = s(C) + 2
eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre, s[B×(C∖B)]s[B \times (C \setminus B)] ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    16
  2. 24Cevap
  3. C
    32
  4. D
    40
  5. E
    48

Cevap

Doğru cevap 24'tür.
Sorunun çözümü, kartezyen çarpımın kesişim işlemi üzerine dağılma özelliğinin (A×(B∩C)A \times (B \cap C)) doğru tespit edilmesine ve küme formüllerinin (birleşim ve fark) hatasız uygulanmasına dayanır. Hesaplamalar sonucunda s(B)=8s(B)=8 ve s(C∖B)=3s(C \setminus B)=3 bulunduğundan, çarpımları 24 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliği kullanılır: (A×B)∩(A×C)=A×(B∩C)(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C).
s[A×(B∩C)]=12s[A \times (B \cap C)] = 12
Kartezyen çarpım özelliklerini kullanarak ifadeyi sadeleştirmek için.
2
Kartezyen çarpım eleman sayısı formülü ile kesişim kümesinin eleman sayısı bulunur: s(A)⋅s(B∩C)=12s(A) \cdot s(B \cap C) = 12.
4⋅s(B∩C)=12⇒s(B∩C)=34 \cdot s(B \cap C) = 12 \Rightarrow s(B \cap C) = 3
Bilinmeyen kesişim kümesi değerine ulaşmak için.
3
Birleşim formülü (s(B∪C)=s(B)+s(C)−s(B∩C)s(B \cup C) = s(B) + s(C) - s(B \cap C)) kullanılarak s(B)+s(C)s(B) + s(C) toplamı bulunur.
11=s(B)+s(C)−3⇒s(B)+s(C)=1411 = s(B) + s(C) - 3 \Rightarrow s(B) + s(C) = 14
Denklem sistemi kurabilmek için gerekli toplamı bulmak.
4
Elde edilen s(B)+s(C)=14s(B) + s(C) = 14 ve verilen s(B)=s(C)+2s(B) = s(C) + 2 denklemleri ortak çözülür.
(s(C)+2)+s(C)=14⇒2s(C)=12⇒s(C)=6(s(C)+2) + s(C) = 14 \Rightarrow 2s(C) = 12 \Rightarrow s(C) = 6 ve s(B)=8s(B) = 8
B ve C kümelerinin eleman sayılarını belirlemek için.
5
İstenen s[B×(C∖B)]s[B \times (C \setminus B)] değeri için önce s(C∖B)=s(C)−s(B∩C)s(C \setminus B) = s(C) - s(B \cap C) hesaplanır, sonra çarpım yapılır.
s(C∖B)=6−3=3s(C \setminus B) = 6 - 3 = 3 ve Sonuç: 8⋅3=248 \cdot 3 = 24
Sorunun nihai cevabına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpımın Dağılma Özelliği ve Küme Problemleri

İpuçları

1
(A×B)∩(A×C)(A \times B) \cap (A \times C) ifadesini ortak paranteze alır gibi düşünün: A×(B∩C)A \times (B \cap C).
2
s(B∪C)=s(B)+s(C)−s(B∩C)s(B \cup C) = s(B) + s(C) - s(B \cap C) formülünü kullanarak s(B)s(B) ve s(C)s(C) değerlerini bulmaya çalışın.
3
C∖BC \setminus B kümesinin eleman sayısını bulmak için s(C)s(C) değerinden s(B∩C)s(B \cap C) değerini çıkarmayı unutmayın.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kartezyen Çarpım

Bu konudan daha fazla soru