Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜçgende Alan

Bir ABCABC üçgeninde D∈[AC]D \in [AC] ve ∣AD∣=2∣DC∣|AD| = 2|DC| olacak şekilde bir DD noktası işaretleniyor. [BD][BD] doğru parçası üzerinde ise ∣BE∣=3∣ED∣|BE| = 3|ED| eşitliğini sağlayan bir EE noktası belirleniyor. Alan(ABEABE) = 36 cm236 \text{ cm}^2 olduğuna göre, ABCABC üçgeninin alanı kaç  cm2\text{ cm}^2'dir?

  1. 72Cevap
  2. B
    48
  3. C
    54
  4. D
    96
  5. E
    108

Cevap

Verilen oranlar doğrultusunda yapılan kademeli alan hesaplaması sonucunda ABCABC üçgeninin alanı 72  cm2\text{ cm}^2 olarak bulunur.
Doğru cevap olan 72 seçeneğine ulaşmak için önce ABDABD üçgeni içindeki taban oranından (3:13:1) hareketle bu üçgenin alanı 48 olarak bulunur. Daha sonra ACAC kenarı üzerindeki 2:12:1 oranındaki taban paylaşımı kullanılarak tüm üçgenin alanı hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABDABD üçgeni içerisindeki alan paylaşımını belirle.
∣BE∣=3∣ED∣|BE| = 3|ED| olduğu için Alan(ABE)=3⋅Alan(AED)Alan(ABE) = 3 \cdot Alan(AED) olur. Buradan 36=3⋅Alan(AED)⇒Alan(AED)=12 cm236 = 3 \cdot Alan(AED) \Rightarrow Alan(AED) = 12 \text{ cm}^2 bulunur.
Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları tabanları ile doğru orantılıdır.
2
ABDABD üçgeninin toplam alanını hesapla.
Alan(ABD)=Alan(ABE)+Alan(AED)=36+12=48 cm2Alan(ABD) = Alan(ABE) + Alan(AED) = 36 + 12 = 48 \text{ cm}^2.
ABDABD üçgeni, ABEABE ve AEDAED üçgenlerinin birleşimidir.
3
ABCABC üçgeninin toplam alanına geçiş yap.
∣AD∣=2∣DC∣|AD| = 2|DC| olduğu için Alan(ABD)=2⋅Alan(BCD)Alan(ABD) = 2 \cdot Alan(BCD) olur. 48=2⋅Alan(BCD)⇒Alan(BCD)=24 cm248 = 2 \cdot Alan(BCD) \Rightarrow Alan(BCD) = 24 \text{ cm}^2 bulunur. Toplam alan: 48+24=72 cm248 + 24 = 72 \text{ cm}^2.
ABDABD ve BCDBCD üçgenlerinin BB köşesinden inen yükseklikleri ortaktır, bu yüzden alanlar taban oranlarına göre dağılır.

Anahtar Kavram

Üçgende alanın taban parçalarıyla orantılı paylaşımı

İpuçları

1
ABEABE ve AEDAED üçgenlerinin yükseklikleri aynı olduğu için alanları tabanlarıyla (BEBE ve EDED) orantılıdır.
2
∣BE∣=3∣ED∣|BE| = 3|ED| ise ABEABE üçgeninin alanı, AEDAED üçgeninin alanının 3 katıdır. Buradan ABDABD üçgeninin alanını bulabilirsiniz.
3
Alan(ABD)=48Alan(ABD) = 48 bulduktan sonra, AD=2DCAD = 2DC bilgisini kullanarak BCDBCD üçgeninin alanını hesaplayın ve ikisini toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda alan parçalamayı yardımcı doğrular çizerek (paralel doğrular gibi) benzerlik kurarak çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm alanı bir değişken (SS) cinsinden ifade edebilirsiniz. Alan(ABC)=3SAlan(ABC) = 3S olsun. Alan(ABD)=2SAlan(ABD) = 2S olur. ABDABD içinde ise Alan(ABE)=34⋅Alan(ABD)=34⋅2S=32SAlan(ABE) = \frac{3}{4} \cdot Alan(ABD) = \frac{3}{4} \cdot 2S = \frac{3}{2}S olur. 32S=36⇒S=24\frac{3}{2}S = 36 \Rightarrow S = 24. Toplam alan 3S=3⋅24=72 cm23S = 3 \cdot 24 = 72 \text{ cm}^2.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Alan

Bu konudan daha fazla soru