Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKartezyen Çarpım
Tam sayılar kümesi Z\mathbb{Z} üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
A={x∈Z:−2≤x≤3}A = \{x \in \mathbb{Z} : -2 \leq x \leq 3\}
B={x∈Z:1≤x≤6}B = \{x \in \mathbb{Z} : 1 \leq x \leq 6\}
Buna göre, (A×B)∪(B×A)(A \times B) \cup (B \times A) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?
  1. A
    36
  2. B
    45
  3. 63Cevap
  4. D
    72
  5. E
    81

Cevap

Kartezyen çarpım kümelerinin birleşiminin eleman sayısı 63 olarak bulunur.
Doğru cevap olan 63 değerine ulaşmak için öncelikle her iki kümenin eleman sayısı (6) belirlenir. Ardından kartezyen çarpımların eleman sayıları (3636 ve 3636) toplanır. Ancak bu iki kümenin kesişimi olan (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) kümesinin elemanları (3×3=93 \times 3 = 9 tane) her iki toplamda da yer aldığı için bir kez çıkarılmalıdır. Sonuç 36+36−9=6336 + 36 - 9 = 63 olur.

Adım Adım Çözüm

1
AA ve BB kümelerinin eleman sayılarının bulunması.
s(A)=3−(−2)+1=6s(A) = 3 - (-2) + 1 = 6 ve s(B)=6−1+1=6s(B) = 6 - 1 + 1 = 6.
Sınırlı tam sayı aralıklarındaki eleman sayısı 'son terim - ilk terim + 1' formülü ile bulunur.
2
A×BA \times B ve B×AB \times A kümelerinin eleman sayılarının hesaplanması.
s(A×B)=6×6=36s(A \times B) = 6 \times 6 = 36 ve s(B×A)=6×6=36s(B \times A) = 6 \times 6 = 36.
Bir kartezyen çarpımın eleman sayısı, bileşen kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
3
Kesişim kümesi olan (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) eleman sayısının bulunması.
A∩B={1,2,3}A \cap B = \{1, 2, 3\} olduğundan s(A∩B)=3s(A \cap B) = 3. Kesişim kümesi (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) olup eleman sayısı 3×3=93 \times 3 = 9 olur.
(A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(B∩A)(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A) özelliği kullanılır.
4
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünün uygulanması.
s((A×B)∪(B×A))=36+36−9=63s((A \times B) \cup (B \times A)) = 36 + 36 - 9 = 63.
s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y) genel küme birleşim formülü kartezyen çarpım kümeleri için de geçerlidir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümelerinde birleşim ve kesişim özellikleri

İpuçları

1
Birleşim kümesinin eleman sayısını bulurken s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y) formülünü hatırlayın.
2
(A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) kümesinin (A∩B)×(B∩A)(A \cap B) \times (B \cap A) kümesine eşit olduğunu kullanın.
3
A={−2,−1,0,1,2,3}A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} ve B={1,2,3,4,5,6}B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} olduğuna göre s(A∩B)s(A \cap B) değerini bulup formülde yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Bu kümelerin analitik düzlemde oluşturduğu kapalı bölgelerin alanlarını hesaplayarak geometrik yorum yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kartezyen Çarpım

Bu konudan daha fazla soru