Examkin

Soru

Zorluk: ZorFaktöriyel (Temel)

nn bir doğal sayı olmak üzere,

(n+2)!−(n+1)!−n!(n+1)!+n! \frac{(n+2)! - (n+1)! - n!}{(n+1)! + n!}

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    n - 1
  2. nCevap
  3. C
    n + 1
  4. D
    n²
  5. E
    n² + 1

Cevap

İşlemin sonucu n ifadesidir.
Verilen ifadede tüm terimleri en küçük faktöriyel olan n! parantezine aldığımızda, pay kısmı n!(n²+2n), payda kısmı ise n!(n+2) olur. Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında sonuç n bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm faktöriyel ifadelerini en küçük faktöriyel olan n! cinsinden yazalım.
(n+2)!=(n+2)(n+1)n! (n+2)! = (n+2)(n+1)n!
(n+1)!=(n+1)n! (n+1)! = (n+1)n!
Faktöriyel işlemlerinde sadeleştirme yapabilmek için terimleri ortak çarpan parantezine almamız gerekir.
2
Pay ve paydayı n! ortak parantezine alalım.
Pay: n![(n+2)(n+1)−(n+1)−1] n! [ (n+2)(n+1) - (n+1) - 1 ]
Payda: n![(n+1)+1] n! [ (n+1) + 1 ]
Ortak çarpanları belirginleştirerek sadeleştirmeye hazırlık yaparız.
3
Köşeli parantez içindeki ifadeleri düzenleyelim.
Pay içi: (n2+3n+2)−n−1−1=n2+2n (n^2 + 3n + 2) - n - 1 - 1 = n^2 + 2n
Payda içi: n+2 n + 2
Cebirsel ifadeleri toplayıp çıkararak en sade hallerini buluruz.
4
Pay kısmını çarpanlarına ayıralım ve ifadeyi yeniden yazalım.
n2+2n=n(n+2) n^2 + 2n = n(n+2)
İfade: n!⋅n(n+2)n!⋅(n+2) \frac{n! \cdot n(n+2)}{n! \cdot (n+2)}
Pay ve paydadaki benzer terimleri görmek için çarpanlara ayırma işlemi uygulanır.
5
Ortak terimleri sadeleştirerek sonucu bulalım.
n! ve (n+2) terimleri sadeleşir, geriye sadece n kalır.
Çarpım durumundaki aynı ifadeler birbirini götürür.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerde sadeleştirme yapılırken, tüm terimler en küçük faktöriyel cinsinden yazılarak (genellikle n!) ortak paranteze alınır.

İpuçları

1
İfadedeki tüm faktöriyelleri, en küçük olan n! cinsinden yazmaya çalışın.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel (Temel)

Bu konudan daha fazla soru