Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜçgende Alan

Bir ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[BC][AB] \perp [BC] olduğu verilmiştir. ∣AB∣=9|AB| = 9 cm ve ∣BC∣=12|BC| = 12 cm'dir. Bu üçgenin ağırlık merkezi GG noktası olduğuna göre, GBCGBC üçgensel bölgesinin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

  1. A
    9
  2. 18Cevap
  3. C
    27
  4. D
    36
  5. E
    54

Cevap

GBCGBC üçgensel bölgesinin alanı 18 cm2\text{cm}^2 olarak bulunur.
Dik üçgenin alanı hesaplandığında 54 cm2\text{cm}^2 bulunur. Ağırlık merkezi (GG), üçgenin köşeleriyle birleştirildiğinde oluşan üç üçgenin (GAB,GBC,GACGAB, GBC, GAC) alanları birbirine eşit ve toplam alanın üçte biridir. Bu nedenle 54 sayısının üçe bölünmesiyle elde edilen 18 sonucu doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC dik üçgeninin toplam alanını hesapla.
Alan (ABC)=9×122=54 cm2(ABC) = \frac{9 \times 12}{2} = 54 \text{ cm}^2
Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısına eşittir.
2
Ağırlık merkezi (GG) ile alan arasındaki ilişkiyi kullan.
Alan (GAB)=Alan(GBC)=Alan(GAC)=Alan(ABC)3(GAB) = \text{Alan}(GBC) = \text{Alan}(GAC) = \frac{\text{Alan}(ABC)}{3}
Bir üçgenin ağırlık merkezi, köşelerle birleştirildiğinde üçgeni alanları eşit üç bölgeye ayırır.
3
GBCGBC bölgesinin alanını hesapla.
Alan (GBC)=543=18 cm2(GBC) = \frac{54}{3} = 18 \text{ cm}^2
Toplam alanın üçte biri alınarak istenen bölgenin alanına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üçgende Alan ve Ağırlık Merkezi İlişkisi

İpuçları

1
Önce ABCABC dik üçgeninin toplam alanını bulmayı deneyin.
2
Bir üçgende ağırlık merkezinin, alanı nasıl paylaştırdığını hatırlayın; köşelere çekilen doğrular alanı kaç parçaya böler?
3
GG noktası ağırlık merkezi ise Alan (GBC)=13Alan(ABC)(GBC) = \frac{1}{3} \text{Alan}(ABC) eşitliğini kullanabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda ağırlık merkezi yerine iç teğet çemberin merkezini kullanarak alan parçalama özelliklerini çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, ağırlık merkezinin tabana olan uzaklığı, o tabana ait yüksekliğin üçte biridir. BCBC tabanına ait yükseklik ∣AB∣=9|AB|=9 cm olduğundan, GG noktasının BCBC kenarına uzaklığı (yüksekliği) 9/3=39/3 = 3 cm olur. Buradan Alan (GBC)=(12×3)/2=18 cm2(GBC) = (12 \times 3) / 2 = 18 \text{ cm}^2 bulunur.
Tahmini Süre:1m 15s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Alan

Bu konudan daha fazla soru