Examkin

Soru

Zorluk: ZorKatı Cisimler

Taban yarıçapı r=4r = 4 cm ve ana doğru uzunluğu (yanal ayrıtı) l=12l = 12 cm olan dik dairesel koninin taban çevresi üzerindeki AA noktasında bulunan bir karınca, koninin yanal yüzeyi üzerinden hareket ederek AA noktasının taban merkezine göre simetriği olan BB noktasına gitmek istemektedir. Buna göre, karıncanın alabileceği en kısa yol kaç cm'dir?

  1. 12Cevap
  2. B
    12212\sqrt{2}
  3. C
    12312\sqrt{3}
  4. D
    8
  5. E
    4π4\pi

Cevap

Karıncanın alabileceği en kısa yol 12 cm'dir.
Koninin yanal yüzeyi açıldığında, yarıçapı l=12l=12 cm olan bir daire dilimi elde edilir. Dilimin tepe açısı α=360⋅(r/l)=360⋅(4/12)=120∘\alpha = 360 \cdot (r/l) = 360 \cdot (4/12) = 120^\circ bulunur. Karınca A noktasından taban merkezine göre simetriği olan B noktasına (yani taban dairesinin tam karşı noktasına) gittiği için, açınım üzerinde taradığı açı 120∘120^\circ'nin yarısı olan 60∘60^\circ olur. Kolları 12 cm ve aradaki açısı 60∘60^\circ olan üçgen eşkenar üçgendir; bu nedenle en kısa uzaklık 12 cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Koninin yanal yüzeyinin açık halini (açınımını) düşün.
Koninin yanal yüzeyinin açınımı, yarıçapı ana doğru uzunluğu (l=12) olan bir daire dilimidir.
Koninin yüzeyi üzerinden en kısa yol, açınım üzerindeki doğrusal yoldur.
2
Açınımın merkez açısını (alfa) hesapla.
α=360∘⋅rl=360∘⋅412=120∘\alpha = 360^\circ \cdot \frac{r}{l} = 360^\circ \cdot \frac{4}{12} = 120^\circ.
Taban dairesinin çevresi, açınım yayının uzunluğuna eşittir (2πr=2πl⋅α3602\pi r = 2\pi l \cdot \frac{\alpha}{360}).
3
Hedef nokta B'nin açınımdaki konumunu belirle.
B noktası A'nın simetriği olduğu için, açınımda A noktasından 120∘/2=60∘120^\circ / 2 = 60^\circ ileridedir.
Taban dairesinde çapın diğer ucu yarım tura denk gelir, bu da açınım açısının yarısıdır.
4
Oluşan üçgende uzaklığı hesapla.
Tepe açısı 60∘60^\circ olan ve kenarları 12 cm olan ikizkenar üçgen bir eşkenar üçgendir. Dolayısıyla ∣AB∣=12|AB| = 12 cm.
Kenar uzunlukları eşit ve aradaki açı 60 derece ise karşı kenar da bu uzunluklara eşittir.

Anahtar Kavram

Koni Yüzeyinde En Kısa Yol (Geodezik Eğri)

İpuçları

1
Koninin yanal yüzeyini düz bir kağıda açtığınızı hayal edin. Bu şekil bir daire dilimidir.
2
Oluşan daire diliminin yarıçapı koninin ana doğrusu (12 cm), yay uzunluğu ise koninin taban çevresi kadardır. Orantı kurarak merkez açıyı bulun.
3
Merkez açı 120∘120^\circ çıkar. A ve B noktaları taban dairesinde karşılıklı olduğu için, açınımda aralarındaki açı 60∘60^\circ olacaktır. Şimdi tepe açısı 60∘60^\circ olan ikizkenar üçgenin özelliğini düşünün.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru