\mathbb{Z} tam sayılar kümesi olmak üzere, A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \le 3\} B = \{… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

\mathbb{Z}

tam sayılar kümesi olmak üzere,

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \le 3\}

B = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 17\}

kümeleri tanımlanmıştır.

Buna göre, $(A \times B) \cup (B \times A)$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Soruda verilen

(A \times B) \cup (B \times A)

kümesinin eleman sayısını bulmak için

s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y)

formülü kullanılır. Burada

X = A \times B

Y = B \times A

'dır.

Öncelikle kümelerin eleman sayıları bulunur:

A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} \Rightarrow s(A)=7

B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} \Rightarrow s(B)=9

Buradan

s(A \times B) = 7 \cdot 9 = 63

s(B \times A) = 9 \cdot 7 = 63

bulunur.

Önemli nokta kesişim kümesidir:

(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A) = (A \cap B) \times (A \cap B)

A \cap B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}

olup

s(A \cap B) = 6

'dır.
Kesişim kümesinin eleman sayısı:

6 \cdot 6 = 36

.

Sonuç:

63 + 63 - 36 = 90

A kümesinin elemanlarını belirle

|x - 2| \le 3 \Rightarrow -3 \le x - 2 \le 3 \Rightarrow -1 \le x \le 5

A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}

, yani

s(A) = 7

Mutlak değer eşitsizliğini çözerek tam sayı elemanları listelemek gerekir.

B kümesinin elemanlarını belirle

x^2 < 17

koşulunu sağlayan tam sayılar:

-\sqrt{17} < x < \sqrt{17}

(

\approx 4.12

B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

, yani

s(B) = 9

Karesi 17'den küçük olan tam sayıları bulmak gerekir.

Kesişim kümesini (

A \cap B

) ve eleman sayısını bul

Ortak elemanlar:

\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}

s(A \cap B) = 6

Birleşim formülünde kullanılacak olan kesişim değerini bulmak için.

Birleşim formülünü uygula

s((A \times B) \cup (B \times A)) = s(A \times B) + s(B \times A) - s((A \times B) \cap (B \times A))

. Bu da

s(A)s(B) + s(B)s(A) - [s(A \cap B)]^2

eşittir.

63 + 63 - 36 = 126 - 36 = 90

Kartezyen çarpımın birleşim eleman sayısını hesaplamak için dahil etme-hariç tutma prensibi kullanılır.

Kartezyen Çarpım ve Kümelerde Birleşim Prensibi

Önce A ve B kümelerinin elemanlarını açıkça listeleyin ve kaçar elemanlı olduklarını (s(A) ve s(B)) bulun.

İki kümenin birleşiminin eleman sayısı formülünü hatırlayın:

s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y)

. Burada X ve Y kartezyen çarpım kümeleridir.

(A \times B) \cap (B \times A)

kümesinin eleman sayısı,

(A \cap B)

kümesinin eleman sayısının karesine eşittir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru