Examkin

Soru

Zorluk: ZorKatı Cisimler

Taban yarıçapı 66 cm ve ana doğrusunun uzunluğu 1010 cm olan dik dairesel bir koninin içerisine, koninin tabanına ve yan yüzeylerine teğet olacak şekilde yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin hacmi kaç cm3\text{cm}^3 tür?

  1. A
    16π16\pi
  2. 36π36\piCevap
  3. C
    48π48\pi
  4. D
    64π64\pi
  5. E
    96π96\pi

Cevap

Kürenin hacmi 36π36\pi cm3\text{cm}^3 tür.
Doğru cevap, koninin dikey kesitindeki üçgenin iç teğet çember yarıçapının (R=3R=3) hesaplanması ve bu değerin küre hacim formülüne (V=43πR3V = \frac{4}{3}\pi R^3) uygulanmasıyla 36π36\pi olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Koninin yüksekliğini (hh) bulmak için Pisagor bağıntısını uygula.
h=102−62=100−36=64=8h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 cm.
Koninin yüksekliği, taban yarıçapı ve ana doğru dik üçgen oluşturur (6−8−106-8-10 üçgeni).
2
Koninin tepe noktasından geçen dikey kesiti (ikizkenar üçgeni) ve iç teğet çemberi (kürenin büyük çemberi) modelle.
Kesit üçgeninin tabanı 2r=122r = 12 cm, yüksekliği h=8h = 8 cm, eşit kenarları 1010 cm'dir.
Kürenin yarıçapını (RR) bulmak için bu üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı hesaplanmalıdır.
3
Üçgenin alanını ve yarı çevresini (uu) kullanarak iç teğet çember yarıçapını (RR) hesapla.
Alan = 12⋅82=48\frac{12 \cdot 8}{2} = 48. Çevre = 10+10+12=3210+10+12=32, u=16u=16. R=Alanu=4816=3R = \frac{\text{Alan}}{u} = \frac{48}{16} = 3 cm.
Bir üçgenin alanı, yarı çevre (uu) ile iç teğet çember yarıçapının (RR) çarpımına eşittir (A=u⋅RA = u \cdot R).
4
Bulunan yarıçapı (R=3R=3) küre hacim formülünde yerine yaz.
Vku¨re=43πR3=43π(33)=43π(27)=36πV_{küre} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (3^3) = \frac{4}{3}\pi (27) = 36\pi.
Küre hacim formülü V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3 tür.

Anahtar Kavram

Koni içine yerleştirilen en büyük kürenin yarıçapı, koninin eksenel kesitindeki (ikizkenar üçgen) iç teğet çemberin yarıçapına eşittir.

İpuçları

1
Koninin tepe noktasından taban çapına inen dikey bir kesit aldığınızı hayal edin. Bu kesit bir ikizkenar üçgendir.
2
Kürenin bu kesitteki görüntüsü, ikizkenar üçgenin iç teğet çemberidir. Üçgenin kenar uzunluklarını (6−8−106-8-10 üçgeninden faydalanarak) bulun.
3
Üçgenin alanı (AA) ve yarı çevresi (uu) ile iç teğet çember yarıçapı (RR) arasındaki A=u⋅RA = u \cdot R bağıntısını kullanarak RR'yi hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, bir kürenin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli koninin hacmini soran bir problem çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Benzerlik kullanarak da çözülebilir: Tepe açısının yarısına α\alpha dersek, tan⁡(α)=rkoni/h=6/8=3/4\tan(\alpha) = r_{koni}/h = 6/8 = 3/4. Küre merkezi OO olmak üzere, OO'dan teğet noktasına çizilen yarıçap RR ve tepe noktasına olan uzaklık 8−R8-R dir. Dik üçgende sin⁡(α)=R/(8−R)\sin(\alpha) = R/(8-R). tan⁡(α)=3/4\tan(\alpha)=3/4 ise sin⁡(α)=3/5\sin(\alpha)=3/5. Buradan 3/5=R/(8−R)⇒24−3R=5R⇒8R=24⇒R=33/5 = R/(8-R) \Rightarrow 24-3R=5R \Rightarrow 8R=24 \Rightarrow R=3.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru