Bir ayrıtı 4 cm olan dolu bir küpün, cisim köşegeni ile belirlenen karşılıklı iki köşesind… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Bir ayrıtı $4$ cm olan dolu bir küpün, cisim köşegeni ile belirlenen karşılıklı iki köşesinden; bu köşelerle birleşen ayrıtların orta noktalarından geçen düzlemlerle üçgen piramit biçiminde parçalar kesilip atılıyor.

Buna göre, geriye kalan cismin yüzey alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

$84 + 4\sqrt{3}$ Cevap
B
$90 + 2\sqrt{3}$
C
$96 + 4\sqrt{3}$
D
$84 + 8\sqrt{3}$
E
$72 + 6\sqrt{3}$

Cevap

Cismin yeni yüzey alanı

84 + 4\sqrt{3}

\text{cm}^2

dir.

Doğru cevap, başlangıçtaki küp alanından (

96

), kesilen iki köşedeki üçer dik üçgenin alanının (

2 \times 6 = 12

) çıkarılması ve yerine oluşan iki eşkenar üçgenin alanının (

2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}

) eklenmesiyle bulunur. Sonuç

84 + 4\sqrt{3}

tür.

Adım Adım Çözüm

Küpün başlangıçtaki toplam yüzey alanını hesapla.

A_{küp} = 6 \times a^2 = 6 \times 4^2 = 96

\text{cm}^2

Küpün yüzey alanı 6 adet karenin alanına eşittir.

Bir köşeden kesilen parçanın yüzey alanından eksilttiği miktarı bul.

Eksilen alan:

3 \times \frac{2 \times 2}{2} = 6

\text{cm}^2

Her köşede, ayrıtların orta noktalarından (2 cm) kesim yapıldığı için, küpün yüzeyinden 3 adet ikizkenar dik üçgen (dik kenarları 2 cm) eksilir.

Kesim sonucu oluşan yeni yüzeyin (arakesit) alanını hesapla.

Eklenen alan:

\frac{(2\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}

\text{cm}^2

Kesilen yüzey bir eşkenar üçgendir. Kenar uzunluğu, dik kenarları 2 cm olan dik üçgenin hipotenüsüdür:

2\sqrt{2}

cm. Eşkenar üçgen alanı

\frac{a^2\sqrt{3}}{4}

formülüyle bulunur.

Toplam alan değişimini hesapla ve sonucu bul.

Yeni Alan =

96 - 2(6) + 2(2\sqrt{3}) = 96 - 12 + 4\sqrt{3} = 84 + 4\sqrt{3}

İki karşılıklı köşe kesildiği için, eksilen ve eklenen alanlar 2 ile çarpılır. Başlangıç alanından eksilenler çıkarılır, eklenenler toplanır.

Anahtar Kavram

Cisimlerin Yüzey Alanı Değişimi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru