Taban yarıçapı 3 cm ve yüksekliği 16\pi cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kutu… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Taban yarıçapı $3$ cm ve yüksekliği $16\pi$ cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kutunun taban çevresi üzerindeki $A$ noktasında bulunan bir karınca, kutunun yanal yüzeyi üzerinden iki tam tur atarak, üst tabanda $A$ noktasının tam düşey hizasında bulunan $B$ noktasına en kısa yoldan gitmek istiyor. Buna göre, karıncanın alacağı yol en az kaç cm'dir?

A
$15\pi$
$20\pi$ Cevap
C
$25\pi$
D
$28\pi$
E
$32\pi$

Cevap

Karıncanın alacağı en kısa yol

20\pi

cm'dir.

Karınca silindir yüzeyinde hareket ettiğinde, en kısa yolu bulmak için silindirin yanal yüzeyi düz bir dikdörtgen gibi açılır. Karınca 2 tam tur attığı için, bu dikdörtgenlerden yan yana iki tane varmış gibi düşünülür. Böylece toplam yatay yol, taban çevresinin 2 katı (

2 \times 2\pi r = 12\pi

) olur. Dikey yol ise silindirin yüksekliğidir (

16\pi

). Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı (

12\pi - 16\pi - 20\pi

) uygulanarak en kısa yol

20\pi

bulunur.

Adım Adım Çözüm

Silindirin taban çevresini hesapla.

Çevre

= 2\pi r = 2\pi \cdot 3 = 6\pi

cm.

Silindirin yanal yüzeyi açıldığında genişliği çevre kadar olacaktır.

Karıncanın 2 tam tur atması nedeniyle toplam yatay mesafeyi belirle.

Yatay Yol

= 2 \times \text{Çevre} = 2 \times 6\pi = 12\pi

cm.

Her tur için bir çevre uzunluğu kadar yatay mesafe kat edilir.

Oluşan dik üçgenin dik kenarlarını belirle ve Pisagor bağıntısını uygula.

Dik kenarlar:

12\pi

16\pi

. Hipotenüs (

x

) için:

x^2 = (12\pi)^2 + (16\pi)^2

En kısa yol, açınım düzlemindeki doğrusal yoldur (hipotenüs).

Hipotenüs uzunluğunu hesapla (veya özel üçgeni fark et).

x = \sqrt{144\pi^2 + 256\pi^2} = \sqrt{400\pi^2} = 20\pi

cm. (3-4-5 üçgeninin

4\pi

katı olan 12-16-20 üçgeni).

İşlemin sonucunu bulmak.

Anahtar Kavram

Silindir yüzeyinde en kısa yol problemleri, silindirin açınımı yapılarak düzlemde Pisagor bağıntısı ile çözülür.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru