Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFaktöriyel (Sayma)

AA sayısı, 00’dan 20242024’e kadar olan doğal sayıların faktöriyellerinin toplamı olarak aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

A=0!+1!+2!+3!+⋯+2024!A = 0! + 1! + 2! + 3! + \dots + 2024!

Buna göre, AA sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?

  1. A
    0
  2. B
    3
  3. 4Cevap
  4. D
    7
  5. E
    9

Cevap

A sayısının birler basamağındaki rakam 4'tür.
Doğru cevap, faktöriyel fonksiyonunun büyüme özelliğinden kaynaklanır. 5!5! ve sonraki tüm faktöriyeller (6!,7!,…6!, 7!, \dots) çarpan olarak hem 2 hem de 5'i içerdiğinden 10 ile tam bölünürler, yani birler basamakları 0'dır. Bu nedenle AA sayısının birler basamağını belirleyen terimler sadece 0!,1!,2!,3!0!, 1!, 2!, 3! ve 4!4! terimleridir. Bu değerlerin toplamı 1+1+2+6+24=341+1+2+6+24=34 yapar. 34 sayısının birler basamağı ise 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
İlk birkaç faktöriyel değerini ve birler basamağındaki rakamları hesapla.
0!=10! = 1
1!=11! = 1
2!=22! = 2
3!=63! = 6
4!=244! = 24 (Birler basamağı: 4)
Toplamın birler basamağını bulmak için her bir terimin birler basamağındaki değeri bilmemiz gerekir.
2
5! ve sonrasındaki terimlerin birler basamağını incele.
5!=1205! = 120 (Birler basamağı: 0)
6!=7206! = 720 (Birler basamağı: 0)
Genel olarak n≥5n \ge 5 için n!n! değerinin birler basamağı 0'dır.
5!=5×4×3×2×15! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 çarpımı içinde 2 ve 5 çarpanları bulunduğu için sayı 10'a tam bölünür ve sonu 0 ile biter.
3
Birler basamağı 0 olmayan terimlerin birler basamaklarını topla.
Toplam = 1+1+2+6+4=141 + 1 + 2 + 6 + 4 = 14
5! ve sonrası 0 olduğu için toplama etki etmez. Sadece ilk 5 terim (0! ile 4! arası) sonucu belirler.
4
Elde edilen toplamın birler basamağını bul.
14 sayısının birler basamağı 4'tür.
Sonuç A sayısının birler basamağıdır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramında n≥5n \ge 5 için n!n! sayısının birler basamağı daima 0'dır.

İpuçları

1
Büyük faktöriyelleri hesaplamaya çalışmayın. 5! ve sonrasındaki sayıların son basamağını düşünün.
2
5!=1205! = 120 dir. Bu sayıdan sonraki tüm faktöriyellerin (6!,7!…6!, 7! \dots) sonu hangi rakamla biter?
3
Sadece 0!+1!+2!+3!+4!0! + 1! + 2! + 3! + 4! toplamının birler basamağını bulmanız yeterlidir, çünkü diğerleri 0 ile biter.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, toplamın 12 veya 15 ile bölümünden kalan soruları çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel (Sayma)

Bu konudan daha fazla soru