Examkin

Soru

Zorluk: ZorFaktöriyel (Sayma)
nn bir pozitif tam sayı olmak üzere,
(2n)!+(2n−1)!(2n−1)!+n!+(n−1)!(n−2)!=48 \frac{(2n)! + (2n-1)!}{(2n-1)!} + \frac{n! + (n-1)!}{(n-2)!} = 48
eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
  1. A
    4
  2. B
    5
  3. 6Cevap
  4. D
    7
  5. E
    8

Cevap

Eşitliği sağlayan n değeri 6'dır.
Verilen ifadede her iki kesir de en küçük faktöriyel parantezine alınarak sadeleştirilir. Birinci kesir 2n+12n+1, ikinci kesir ise n2−1n^2-1 sonucunu verir. Toplamları n2+2n=48n^2+2n=48 denklemini oluşturur. Bu denklemin pozitif kökü 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin birinci terimini sadeleştirin.
(2n)!+(2n−1)!(2n−1)!=(2n−1)!⋅[2n+1](2n−1)!=2n+1\frac{(2n)! + (2n-1)!}{(2n-1)!} = \frac{(2n-1)! \cdot [2n + 1]}{(2n-1)!} = 2n + 1
Paydaki ifade (2n−1)!(2n-1)! parantezine alınarak payda ile sadeleştirilir.
2
Eşitliğin ikinci terimini sadeleştirin.
n!+(n−1)!(n−2)!=(n−1)!⋅[n+1](n−2)!=(n−2)!(n−1)(n+1)(n−2)!=(n−1)(n+1)=n2−1\frac{n! + (n-1)!}{(n-2)!} = \frac{(n-1)! \cdot [n + 1]}{(n-2)!} = \frac{(n-2)!(n-1)(n+1)}{(n-2)!} = (n-1)(n+1) = n^2 - 1
Paydaki ifade (n−1)!(n-1)! parantezine alınır, ardından (n−1)!=(n−1)(n−2)!(n-1)! = (n-1)(n-2)! dönüşümü ile payda sadeleştirilir.
3
Bulunan sadeleşmiş ifadeleri toplayıp denklemi çözün.
(2n+1)+(n2−1)=48⇒n2+2n=48(2n + 1) + (n^2 - 1) = 48 \Rightarrow n^2 + 2n = 48
Sadeleşmiş terimlerin toplamı 48'e eşitlenir.
4
İkinci dereceden denklemin köklerini bulun.
n2+2n−48=0⇒(n+8)(n−6)=0n^2 + 2n - 48 = 0 \Rightarrow (n+8)(n-6) = 0
Denklem çarpanlarına ayrılır.
5
Geçerli kökü belirleyin.
n=−8n = -8 veya n=6n = 6. nn pozitif tam sayı olduğu için n=6n=6 olmalıdır.
Negatif kök, faktöriyel tanımı ve sorudaki pozitif tam sayı koşulu gereği elenir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel sadeleştirmeleri ve ikinci dereceden denkleme dönüşen ifadeler

İpuçları

1
Her kesirdeki pay ifadesini, o kesirdeki en küçük faktöriyel cinsinden paranteze alarak sadeleştirmeyi deneyin.
2
(2n)!=(2n)(2n−1)!(2n)! = (2n)(2n-1)! ve n!=n(n−1)!n! = n(n-1)! özelliklerini kullanın. Ayrıca (n−1)!=(n−1)(n−2)!(n-1)! = (n-1)(n-2)! olduğunu hatırlayın.
3
Sadeleştirmeler sonucunda ifade n2+2n=48n^2 + 2n = 48 şeklinde ikinci dereceden bir denkleme dönüşür.

Daha Fazla Pratik

Faktöriyelli ifadelerin sadeleştirilmesini içeren ve sonucunda rasyonel ifade veya denklem çözümü gerektiren başka sorular çözün.

Alternatif Yöntem

Şıklardaki değerleri doğrudan denklemde yerine koyarak deneme-yanılma yöntemiyle de çözüm bulunabilir, ancak bu yöntem zaman alıcı olabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel (Sayma)

Bu konudan daha fazla soru