Tam sayılar kümesi (\mathbb{Z}) üzerinde A, B ve C kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde $A$ , $B$ ve $C$ kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \le 3\}

B = \{y \in \mathbb{Z} : y^2 < 17\}

C = \{z \in \mathbb{Z} : z \text{ pozitif tek sayıdır}\}

Buna göre, $(A \times B) \cap (B \times C)$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

İfade

(A \cap B) \times (B \cap C)

şeklinde düzenlenir. A ve B'nin kesişimi

\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}

(6 eleman), B ve C'nin kesişimi (B'deki pozitif tekler)

\{1, 3\}

(2 eleman) şeklindedir. Sonuç

6 \times 2 = 12

bulunur.

İstenen ifadeyi kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliği ile sadeleştir.

(A \times B) \cap (B \times C) = (A \cap B) \times (B \cap C)

Bu özdeşlik sayesinde kümelerin tamamını yazmak yerine sadece gerekli kesişim kümelerini bulmak yeterlidir.

A ve B kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle yaz.

A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}

(Çünkü

-3 \le x-2 \le 3 \Rightarrow -1 \le x \le 5

) ve

B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

(Çünkü

y^2 < 17 \Rightarrow -4 \le y \le 4

Eşitsizlikleri sağlayan tam sayıları belirlemek için.

A \cap B

kümesini ve eleman sayısını bul.

A \cap B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}

. Eleman sayısı

s(A \cap B) = 6

Her iki kümede ortak olan elemanlar belirlenir.

B \cap C

kümesini ve eleman sayısını bul.

B

kümesindeki 'pozitif tek sayılar' (C kümesi tanımı):

\{1, 3\}

. Eleman sayısı

s(B \cap C) = 2

B kümesinin elemanları içinden C kümesinin şartını sağlayanlar seçilir.

Sonucu hesapla.

s((A \cap B) \times (B \cap C)) = s(A \cap B) \cdot s(B \cap C) = 6 \cdot 2 = 12

Kartezyen çarpımın eleman sayısı, bileşen kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Kartezyen Çarpımın Kesişim Üzerine Dağılma Özelliği

Tahmini Süre:2m 30s

Soru