Examkin

Soru

Zorluk: ZorKatı Cisimler

Taban yarıçapı r=2r = 2 cm ve ana doğru (yanal ayrıt) uzunluğu l=6l = 6 cm olan dik dairesel koninin taban çevresi üzerindeki bir A noktasından harekete başlayan bir karınca, koninin yanal yüzeyi üzerinden bir tam tur atarak tekrar A noktasına gelecektir.

Buna göre, karıncanın alabileceği en kısa yol kaç cm'dir?

  1. A
    66
  2. B
    4π4\pi
  3. C
    626\sqrt{2}
  4. 636\sqrt{3}Cevap
  5. E
    1212

Cevap

Karıncanın alacağı en kısa yol 636\sqrt{3} cm'dir.
Dik dairesel koni üzerinde en kısa yol sorularında şekil düzleme açılır. Koninin yanal yüzeyi açıldığında, yarıçapı ana doğru uzunluğu (l=6l=6) olan bir daire dilimi elde edilir. Bu dilimin merkez açısı α=360∘⋅(r/l)=120∘\alpha = 360^\circ \cdot (r/l) = 120^\circ olarak bulunur. Başlangıç ve bitiş noktaları bu dilimin iki uç yarıçapı üzerindedir. En kısa yol, bu iki ucu birleştiren doğru parçasıdır. Kenarları 6 cm ve arasındaki açı 120∘120^\circ olan ikizkenar üçgende, karşı kenar uzunluğu kenarların 3\sqrt{3} katıdır (veya kosinüs teoreminden hesaplanır). Sonuç 636\sqrt{3} cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Koninin yanal yüzeyinin açık halini (açınımını) düşünün. Bu şekil bir daire dilimidir.
Daire diliminin yarıçapı koninin ana doğrusuna eşittir (R=l=6R = l = 6 cm).
En kısa yol sorularında 3 boyutlu şekil düzleme açılarak iki nokta arasındaki doğru parçası bulunur.
2
Daire diliminin merkez açısını (α\alpha) hesaplayın.
α=360∘⋅rl=360∘⋅26=120∘\alpha = 360^\circ \cdot \frac{r}{l} = 360^\circ \cdot \frac{2}{6} = 120^\circ.
Açınım açısı formülü α=360∘⋅rl\alpha = 360^\circ \cdot \frac{r}{l} şeklindedir.
3
Açınım üzerinde başlangıç ve bitiş noktaları arasındaki en kısa mesafeyi (kiriş uzunluğunu) hesaplayın.
Oluşan üçgen, tepe açısı 120∘120^\circ ve eşit kenarları 66 cm olan bir ikizkenar üçgendir.
Karınca tam tur atıp aynı noktaya geldiği için, açınımda dilimin iki ucunu birleştiren doğruyu arıyoruz.
4
Kenarları 6,66, 6 ve aradaki açısı 120∘120^\circ olan üçgenin karşı kenarını bulun.
x=63x = 6\sqrt{3} cm.
120∘−30∘−30∘120^\circ-30^\circ-30^\circ özel üçgeninde hipotenüs benzeri uzun kenar, eşit kenarların 3\sqrt{3} katıdır.

Anahtar Kavram

Koninin açınımı ve yüzey üzerindeki en kısa mesafe (jeodezik eğri) hesabı.

İpuçları

1
Katı cisimler üzerindeki 'en kısa yol' sorularında, cismin yüzeyini düz bir kağıt gibi açarak düşünmelisiniz.
2
Koninin yanal yüzeyi açıldığında bir daire dilimi oluşur. Bu dilimin yarıçapı koninin ana doğrusu (ll), yay uzunluğu ise koninin taban çevresidir.
3
Daire diliminin merkez açısını α=360⋅(r/l)\alpha = 360 \cdot (r/l) formülüyle bulun. Sonra oluşan ikizkenar üçgende kosinüs teoremini veya özel üçgen kurallarını kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, karıncanın koni etrafında iki tam tur atması durumunda merkez açının iki katını alarak çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kosinüs Teoremi Kullanımı: x2=62+62−2⋅6⋅6⋅cos⁡(120∘)⇒x2=36+36−72⋅(−1/2)⇒x2=72+36=108⇒x=108=63x^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ) \Rightarrow x^2 = 36 + 36 - 72 \cdot (-1/2) \Rightarrow x^2 = 72 + 36 = 108 \Rightarrow x = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru