Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKüme Kavramı ve Gösterimi

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki koşullarla tanımlanmıştır:

A={x∈Z∣∣2x−5∣≤13} A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid |2x - 5| \le 13 \}
B={x∈Z∣∣x+2∣>3} B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid |x + 2| > 3 \}

Buna göre, AA kümesinde bulunup BB kümesinde bulunmayan elemanların sayısı (s(A∖B)s(A \setminus B)) kaçtır?

  1. A
    5
  2. 6Cevap
  3. C
    7
  4. D
    8
  5. E
    14

Cevap

6
A kümesi [-4, 9] kapalı aralığındaki tam sayılardır. B kümesi (-∞, -5) ve (1, ∞) aralıklarındaki tam sayılardır. A fark B kümesi, A'nın içinde olup B'nin içinde olmayan elemanlardır; bu da B'nin tümleyeni olan [-5, 1] aralığı ile A'nın kesişimidir. Kesişim [-4, 1] aralığıdır ve bu aralıkta {-4, -3, -2, -1, 0, 1} olmak üzere 6 tam sayı bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını belirlemek için eşitsizliği çöz.
∣2x−5∣≤13  ⟹  −13≤2x−5≤13  ⟹  −8≤2x≤18  ⟹  −4≤x≤9|2x - 5| \le 13 \implies -13 \le 2x - 5 \le 13 \implies -8 \le 2x \le 18 \implies -4 \le x \le 9. Yani A={−4,−3,…,9}A = \{-4, -3, \dots, 9\}.
Mutlak değerli eşitsizlik ∣u∣≤a  ⟺  −a≤u≤a|u| \le a \iff -a \le u \le a kuralı uygulanır.
2
B kümesinin elemanlarını belirlemek için eşitsizliği çöz.
∣x+2∣>3  ⟹  x+2>3 veya x+2<−3  ⟹  x>1 veya x<−5|x + 2| > 3 \implies x + 2 > 3 \text{ veya } x + 2 < -3 \implies x > 1 \text{ veya } x < -5.
Mutlak değerli eşitsizlik ∣u∣>a  ⟺  u>a veya u<−a|u| > a \iff u > a \text{ veya } u < -a kuralı uygulanır.
3
A∖BA \setminus B kümesini bulmak için AA'da olup BB'de olmayan (yani B′B' kümesindeki) elemanları belirle.
x∈Ax \in A ve x∉Bx \notin B olmalıdır. x∉B  ⟹  ∣x+2∣≤3  ⟹  −3≤x+2≤3  ⟹  −5≤x≤1x \notin B \implies |x + 2| \le 3 \implies -3 \le x + 2 \le 3 \implies -5 \le x \le 1.
Fark kümesi tanımı gereği, elemanlar A kümesinde olmalı ancak B kümesinin koşulunu sağlamamalıdır.
4
Her iki koşulu da sağlayan tam sayıların kesişimini al ve say.
A=[−4,9]A = [-4, 9] ve B′=[−5,1]B' = [-5, 1] aralıklarının kesişimi [−4,1][-4, 1] aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar: {−4,−3,−2,−1,0,1}\{-4, -3, -2, -1, 0, 1\}. Toplam eleman sayısı 6'dır.
İki aralığın ortak elemanları çözüm kümesini oluşturur.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Eşitsizlikler ve Küme İşlemleri

İpuçları

1
Önce AA kümesinin elemanlarını belirleyen eşitsizliği çözerek aralığı bulunuz.
2
A∖BA \setminus B kümesi, AA kümesinin elemanlarından BB kümesine dahil OLANLARIN çıkarılmasıyla elde edilir. Yani AA ve BB'nin tümleyeninin kesişimine bakmalısınız.
3
BB'nin tümleyeni ∣x+2∣≤3|x+2| \le 3 eşitsizliğidir. Bu aralık ile AA'nın aralığının ortak tam sayılarını sayınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, iki mutlak değerli eşitsizliğin birleşiminin tam sayı eleman sayısını soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde A kümesini mavi, B kümesini kırmızı ile çizerek, sadece mavi olup kırmızı olmayan bölgeyi görsel olarak tespit edebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Kavramı ve Gösterimi

Bu konudan daha fazla soru