Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFaktöriyel (Sayma)
a=(6!)2 a = (6!)^2
b=5!⋅7! b = 5! \cdot 7!
c=4!⋅8! c = 4! \cdot 8!

olduğuna göre; a,ba, b ve cc sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. a<b<ca < b < cCevap
  2. B
    a<c<ba < c < b
  3. C
    b<a<cb < a < c
  4. D
    c<b<ac < b < a
  5. E
    c<a<bc < a < b

Cevap

Sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı a<b<ca < b < c şeklindedir.
Verilen sayılar birbirine oranlandığında; bb sayısının aa'nın 76\frac{7}{6} katı, cc sayısının ise bb'nin 85\frac{8}{5} katı olduğu görülür. Her iki oran da 1'den büyük olduğu için a<b<ca < b < c sıralaması elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ve bb sayılarını birbirine oranlayarak karşılaştıralım.
ba=5!⋅7!6!⋅6!=5!⋅7⋅6!6⋅5!⋅6!=76\frac{b}{a} = \frac{5! \cdot 7!}{6! \cdot 6!} = \frac{5! \cdot 7 \cdot 6!}{6 \cdot 5! \cdot 6!} = \frac{7}{6}
Sayıları sadeleştirmek için büyük olan faktöriyelleri bir küçük olanlar cinsinden ifade ediyoruz (7!=7⋅6!7! = 7 \cdot 6! ve 6!=6⋅5!6! = 6 \cdot 5!).
2
Elde edilen oranı yorumlayalım.
76>1 oldug˘u ic¸in b>a’dır.\frac{7}{6} > 1 \text{ olduğu için } b > a \text{'dır.}
İki pozitif sayının oranı 1'den büyükse, pay paydadan büyüktür.
3
bb ve cc sayılarını birbirine oranlayarak karşılaştıralım.
cb=4!⋅8!5!⋅7!=4!⋅8⋅7!5⋅4!⋅7!=85\frac{c}{b} = \frac{4! \cdot 8!}{5! \cdot 7!} = \frac{4! \cdot 8 \cdot 7!}{5 \cdot 4! \cdot 7!} = \frac{8}{5}
Benzer şekilde 8!=8⋅7!8! = 8 \cdot 7! ve 5!=5⋅4!5! = 5 \cdot 4! dönüşümlerini yaparak sadeleştirme uyguluyoruz.
4
Elde edilen oranı yorumlayalım.
85>1 oldug˘u ic¸in c>b’dir.\frac{8}{5} > 1 \text{ olduğu için } c > b \text{'dir.}
Oran 1'den büyük çıktığı için cc sayısı bb'den daha büyüktür.
5
Elde edilen tüm eşitsizlikleri birleştirelim.
a<b ve b<c⇒a<b<ca < b \text{ ve } b < c \Rightarrow a < b < c
Sıralama bağıntısının geçişme özelliği gereği nihai sıralama bu şekilde oluşur.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerin sadeleştirilmesi ve birbirine oranlanarak karşılaştırılması.

İpuçları

1
Faktöriyel sayıların değerlerini hesaplamak imkansızdır, bu yüzden sayıları birbirine oranlayarak sadeleştirmeyi deneyin.
2
bb sayısını aa cinsinden yazmak için 6!=6⋅5!6! = 6 \cdot 5! ve 7!=7⋅6!7! = 7 \cdot 6! ifadelerini kullanın.
3
ba=76\frac{b}{a} = \frac{7}{6} ve cb=85\frac{c}{b} = \frac{8}{5} oranlarını bulduktan sonra, her ikisinin de 1'den büyük olması size sıralamayı verecektir.

Daha Fazla Pratik

Bu kuralı 3!⋅9!3! \cdot 9! ve 2!⋅10!2! \cdot 10! sayıları için de test ederek mantığı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Toplamları sabit olan (burada hepsinde 12) iki sayının faktöriyellerinin çarpımında, sayılar arasındaki fark arttıkça çarpımın sonucu da büyür. aa için fark 00, bb için fark 22 (7−57-5), cc için fark 44 (8−48-4)'tür. Dolayısıyla a<b<ca < b < c olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel (Sayma)

Bu konudan daha fazla soru