Examkin

Soru

Zorluk: KolayArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bir inşaat ustası, her basamağında bir önceki basamaktan 11 adet fazla tuğla kullanarak 1010 basamaklı bir merdiven yapacaktır. İlk (en üst) basamakta 11 tuğla kullandığına göre, merdivenin tamamı için toplam kaç tuğla kullanılmıştır?

  1. A
    45
  2. 55Cevap
  3. C
    100
  4. D
    110

Cevap

Merdiven için toplamda 55 adet tuğla kullanılmıştır.
Doğru cevap olan 55 değeri, ardışık tam sayıların toplam formülü olan n(n+1)/2n(n+1)/2 ifadesinde n=10n=10 yazılarak elde edilir. Bu durum, merdiven basamaklarındaki tuğla sayılarının toplamını (1+2+3+4+5+6+7+8+9+101+2+3+4+5+6+7+8+9+10) tam olarak karşılamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Problemin matematiksel modelini kurma
1+2+3+⋯+101 + 2 + 3 + \dots + 10
Her basamakta bir öncekinden 1 fazla tuğla kullanıldığı ve 10 basamak olduğu için toplam tuğla sayısı 1'den 10'a kadar olan sayıların toplamıdır.
2
Gauss toplam formülünü uygulama
10×(10+1)2=10×112\frac{10 \times (10 + 1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2}
1'den n'ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} formülü ile pratik şekilde hesaplanır.
3
İşlemi sonuçlandırma
5×11=555 \times 11 = 55
Sadeleştirme ve çarpma işlemleri yapılarak toplam tuğla sayısı bulunur.

Anahtar Kavram

Ardışık tam sayıların toplamı (Gauss Toplamı)

İpuçları

1
Bu bir ardışık sayı toplamı problemidir. 11'den başlayarak her adımda 11 artan sayıları toplamanız gerekiyor.
2
1+2+3+4+5+6+7+8+9+101 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 işlemini tek tek toplamak yerine bir formül kullanabilirsiniz.
3
11'den nn'ye kadar olan sayıların toplamı için kullanılan n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} formülünde nn yerine 1010 koyun.

Daha Fazla Pratik

Eğer ilk basamakta 1 yerine 2 tuğla olsaydı ve ardışık çift sayılar şeklinde devam etseydi toplam nasıl değişirdi?

Alternatif Yöntem

Sayıları baştan ve sondan eşleştirerek de toplayabilirsiniz: (1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6). Her bir parantezin içi 11 olur ve toplamda 5 adet 11 elde edilir. 5×11=555 \times 11 = 55 bulunur.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bu konudan daha fazla soru