Aşağıdaki eşitlikte n bir gerçel sayıdır: \frac{8^n \cdot 4^{n+1}}{16^{n-1}} = 32 Buna gör… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Aşağıdaki eşitlikte $n$ bir gerçel sayıdır:

\frac{8^n \cdot 4^{n+1}}{16^{n-1}} = 32

Buna göre, eşitliği sağlayan $n$ değeri kaçtır?

Eşitliği sağlayan n değeri -1'dir.

Verilen denklemde tüm sayılar 2'nin kuvveti olarak yazıldığında; pay

2^{5n+2}

, payda

2^{4n-4}

olur. Bölme işlemi yapıldığında

2^{n+6}

elde edilir. Bu ifade

32

'ye (

2^5

'e) eşitlendiğinde

n+6=5

denklemi bulunur ve buradan doğru cevap olan

-1

elde edilir.

Verilen üslü ifadelerin tabanlarını en küçük asal sayı tabanına (2 tabanına) çeviriniz.

8^n = (2^3)^n = 2^{3n}

4^{n+1} = (2^2)^{n+1} = 2^{2n+2}

16^{n-1} = (2^4)^{n-1} = 2^{4n-4}

32 = 2^5

Üslü denklemleri çözebilmek için tabanların eşit olması gerekir.

Pay kısmındaki çarpma işlemini yapınız (üsleri toplayınız).

2^{3n} \cdot 2^{2n+2} = 2^{3n + 2n + 2} = 2^{5n+2}

Tabanları aynı olan üslü ifadelerin çarpımında üsler toplanır.

Bölme işlemini uygulayınız (payın üssünden paydanın üssünü çıkarınız).

\frac{2^{5n+2}}{2^{4n-4}} = 2^{(5n+2) - (4n-4)} = 2^{5n+2-4n+4} = 2^{n+6}

Tabanları aynı olan üslü ifadelerin bölümünde paydanın üssü işaret değiştirerek payın üssüne eklenir.

Elde edilen ifadeyi eşitliğin sağ tarafına eşitleyerek

n

değerini bulunuz.

2^{n+6} = 2^5 \Rightarrow n+6 = 5 \Rightarrow n = -1

Tabanları eşit olan üslü denklemlerde üsler de birbirine eşittir.

Üslü denklemlerin çözümünde tabanlar eşitlenir ve üsler arasındaki işlemler (çarpma için toplama, bölme için çıkarma) uygulanır.

Sorudaki 4, 8, 16 ve 32 sayılarının hepsini 2'nin kuvvetleri şeklinde yazmayı deneyin.

Üslü sayıların özelliklerini kullanın:

(a^x)^y = a^{x \cdot y}

kuralı ile üsleri düzenleyin ve tabanları aynı olan sayıları çarparken üsleri toplayın.

İfadenin sol tarafını sadeleştirdiğinizde

2^{n+6}

elde etmelisiniz. Bunu

32

(

2^5

) ile eşitleyin.

Benzer bir mantıkla, tabanları 3 veya 5 olan üslü denklemler çözerek pratik yapabilirsiniz.

Denklem çözmek yerine, seçeneklerdeki değerleri n yerine koyarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edebilirsiniz. Örneğin n=-1 için:

\frac{8^{-1} \cdot 4^0}{16^{-2}} = \frac{1/8 \cdot 1}{1/256} = \frac{256}{8} = 32

Tahmini Süre:1m 30s

Soru