Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorİkizkenar ve Eşkenar Üçgen

Bir kenar uzunluğu aa birim olan ABCABC eşkenar üçgeninin [AC][AC] kenarı üzerinde, bu kenarı iki eş parçaya ayıran bir EE noktası işaretleniyor. [BC][BC] kenarı üzerinde ise ∣BC∣=4∣BD∣|BC| = 4|BD| eşitliğini sağlayan bir DD noktası alınıyor.

[AD][AD] ve [BE][BE] doğru parçaları KK noktasında kesiştiğine ve ABCABC üçgeninin alanı 6060 cm 2^2 olduğuna göre, ABKABK üçgeninin alanı kaç cm 2^2 dir?

  1. A
    10
  2. 12Cevap
  3. C
    15
  4. D
    20
  5. E
    24

Cevap

Menelaus teoremi veya alan oranları kullanılarak hesaplanan 12 cm 2^2 değeridir.
Verilen oranlar kullanılarak (Menelaus teoremi veya kütle merkezi metodu ile) kesişim noktasının BEBE doğru parçasını 2'ye 3 oranında böldüğü bulunur. ABEABE üçgeni tüm alanın yarısıdır (30). ABKABK üçgeni ise bu yarım alanın 2/5'i kadardır, bu da 12 cm 2^2 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin kenarları üzerindeki oranları belirle.
EE, [AC][AC]'nin orta noktası olduğundan ∣AE∣=∣EC∣=k|AE| = |EC| = k diyelim. ∣BC∣=4∣BD∣|BC| = 4|BD| olduğundan ∣BD∣=m|BD| = m ise ∣DC∣=3m|DC| = 3m olur.
Soruda verilen oranları matematiksel ifadelere dökmek çözümün temelidir.
2
Menelaus Teoremini △BCE\triangle BCE üzerinde, A−K−DA-K-D keseni için uygula veya kütle merkezi (mass points) yöntemini kullan.
Menelaus ile: CKKB⋅BDDC⋅CAAE=1\frac{CK}{KB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CA}{AE} = 1 (veya ilgili üçgene göre uyarlanmış hali). Alternatif olarak Kütle Merkezi Yöntemi ile: C=1C=1 birim kütle olsun. ∣AE∣=∣EC∣|AE|=|EC| olduğundan A=1A=1. ∣DC∣=3∣BD∣|DC|=3|BD| olduğundan B=3B=3.
KK noktasının [BE][BE] üzerindeki konumunu (oranını) bulmak için gereklidir.
3
BB ve EE noktalarındaki kütlelere göre KK noktasının [BE][BE]'yi bölme oranını hesapla.
EE noktasındaki yük A+C=2A+C=2. BB noktasındaki yük 33. [BE][BE] üzerinde denge şartı: 3⋅∣BK∣=2⋅∣KE∣⇒∣BK∣∣KE∣=233 \cdot |BK| = 2 \cdot |KE| \Rightarrow \frac{|BK|}{|KE|} = \frac{2}{3}. Yani ∣BK∣=25∣BE∣|BK| = \frac{2}{5} |BE|.
Alan paylaşımı taban uzunlukları oranıyla doğru orantılıdır.
4
Alan parçalama yöntemiyle S(ABK)S(ABK) alanını hesapla.
S(ABE)=12S(ABC)=30S(ABE) = \frac{1}{2} S(ABC) = 30 cm 2^2 (çünkü E orta nokta). △ABK\triangle ABK ve △ABE\triangle ABE aynı yüksekliğe sahiptir, alanları tabanları oranındadır: S(ABK)=∣BK∣∣BE∣⋅S(ABE)=25⋅30=12S(ABK) = \frac{|BK|}{|BE|} \cdot S(ABE) = \frac{2}{5} \cdot 30 = 12 cm 2^2.
Sonuca ulaşmak için parça alanın bütün alanla ilişkisini kurmak.

Anahtar Kavram

Üçgende Alan Paylaşımı ve Menelaus Teoremi

İpuçları

1
E noktası AC kenarının orta noktası olduğu için ABE üçgeninin alanı, tüm üçgenin alanının yarısıdır.
2
K noktasının BE üzerindeki yerini bulmak için Menelaus teoremini veya 'Maddesel Nokta' (kütle merkezi) yöntemini kullanmayı deneyin.
3
C köşesine 1, A köşesine 1 (E orta nokta olduğu için) ve B köşesine 3 (BC=4BD olduğu için) birim kütle vererek K noktasının denge konumunu bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, D noktası BC üzerinde dışta bir nokta olacak şekilde çözün (Dış Menelaus).

Alternatif Yöntem

D noktasından AC kenarına bir paralel çizerek benzer üçgenler (Kelebek Benzerliği) oluşturup oranları bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İkizkenar ve Eşkenar Üçgen

Bu konudan daha fazla soru