3^a \cdot 5^b = 75 ve 3^b \cdot 5^a = 45 eşitlikleri veriliyor. Buna göre, a+b ifadesinin … — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

$3^a \cdot 5^b = 75$ ve $3^b \cdot 5^a = 45$ eşitlikleri veriliyor. Buna göre, $a+b$ ifadesinin değeri kaçtır?

İfadenin doğru değeri 3'tür.

Verilen iki denklem taraf tarafa çarpıldığında

3^{a+b} \cdot 5^{a+b} = 3375

elde edilir. Bu ifade

(3 \cdot 5)^{a+b} = 15^3

şeklinde düzenlendiğinde

a+b=3

sonucuna ulaşılır.

Verilen iki eşitliği taraf tarafa çarpınız.

(3^a \cdot 5^b) \cdot (3^b \cdot 5^a) = 75 \cdot 45

a+b

toplamına ulaşmak için tabanları aynı olan ifadeleri bir araya getirmek gerekir.

Aynı tabana sahip üslü ifadeleri gruplayarak düzenleyiniz.

3^{a+b} \cdot 5^{a+b} = 3375

Çarpma işleminde tabanlar aynı ise üsler toplanır:

x^m \cdot x^n = x^{m+n}

Üsleri ortak paranteze alarak tabanları çarpınız.

(3 \cdot 5)^{a+b} = 3375 \Rightarrow 15^{a+b} = 3375

Üsler aynı ise tabanlar çarpılır:

x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n

Eşitliğin sağ tarafındaki sayıyı 15 tabanında yazarak sonucu bulunuz.

15^{a+b} = 15^3 \Rightarrow a+b = 3

3375 = 15 \cdot 15 \cdot 15 = 15^3

olduğundan üsler birbirine eşittir.

Üslü denklemlerde taraf tarafa çarpma ve üslerin eşitliği ilkesi.

Değişkenleri (

a

b

) ayrı ayrı bulmaya çalışmak yerine, iki eşitliği birbiriyle etkileşime sokmayı deneyin.

Verilen iki eşitliği taraf tarafa çarparsanız, aynı tabana sahip sayıların üslerini toplayabilirsiniz.

Taraf tarafa çarpma işlemi size

15^{a+b}

ifadesini verecektir. 3375 sayısının 15'in kaçıncı kuvveti olduğunu bulun.

Eşitliklerden logaritma alarak lineer denklem sistemi kurmak:

a \ln 3 + b \ln 5 = \ln 75

b \ln 3 + a \ln 5 = \ln 45

. Bu denklemler toplanarak

(a+b)(\ln 3 + \ln 5) = \ln(75 \cdot 45)

elde edilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru