Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKatı Cisimler

Taban yarıçapı r=4r=4 birim, ana doğru uzunluğu l=12l=12 birim olan dik dairesel koni biçimindeki bir cismin taban çevresi üzerindeki A noktasında bulunan bir karınca, koni yüzeyi üzerinden yürüyerek en kısa yoldan B noktasına gitmek istemektedir.

B noktası; A noktasının bulunduğu ana doğrunun, koni eksenine göre simetriği olan (tam karşıdaki) ana doğrunun orta noktasıdır.

Buna göre, karıncanın alacağı en kısa yol kaç birimdir?

  1. 636\sqrt{3}Cevap
  2. B
    656\sqrt{5}
  3. C
    676\sqrt{7}
  4. D
    2172\sqrt{17}
  5. E
    18

Cevap

636\sqrt{3} birimdir.
Doğru cevap, koninin yanal yüzeyi açılarak düzleme aktarıldığında A ve B noktaları arasındaki doğrusal uzaklıktır. r=4r=4 ve l=12l=12 olduğundan açınım açısı 120∘120^\circ'dir. B noktası karşı ana doğru üzerinde olduğundan, A ile B arasındaki açı 60∘60^\circ olur. Kenarları 1212 ve 66, arasındaki açısı 60∘60^\circ olan üçgende kosinüs teoremi uygulandığında (veya 30-60-90 üçgeni özelliği fark edildiğinde) uzunluk 636\sqrt{3} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Koninin yanal yüzeyinin açık hali (daire dilimi) düşünülür. Bu daire diliminin merkez açısı (α\alpha) hesaplanır.
α=360∘⋅rl=360∘⋅412=120∘\alpha = 360^\circ \cdot \frac{r}{l} = 360^\circ \cdot \frac{4}{12} = 120^\circ
Koninin yanal yüzeyi açıldığında oluşan daire diliminin açısı, taban yarıçapı ile ana doğru uzunluğu oranına bağlıdır.
2
Başlangıç (A) ve bitiş (B) noktalarının açınım üzerindeki konumları belirlenir. B noktası 'karşı' ana doğru üzerinde olduğundan, merkez açı iki eşit parçaya bölünür.
Hedef açı θ=120∘2=60∘\theta = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ
Koninin tam turu 120∘120^\circ'lik dilime karşılık gelir. Tam karşı taraf (simetrik konum) bu açının yarısı kadar dönmeyi gerektirir.
3
Açınım üzerinde oluşan üçgen modellenir. Bir kenarı TA=12T A = 12 br (ana doğru), diğer kenarı TB=6T B = 6 br (orta nokta) ve aradaki açı 60∘60^\circ'dir. Kosinüs teoremi uygulanır.
x2=122+62−2⋅12⋅6⋅cos⁡(60∘)x^2 = 12^2 + 6^2 - 2 \cdot 12 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)
Yüzey üzerindeki en kısa yol, açınım düzlemindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasıdır.
4
İşlem tamamlanarak sonuca ulaşılır.
x2=144+36−144⋅12=180−72=108⇒x=108=63x^2 = 144 + 36 - 144 \cdot \frac{1}{2} = 180 - 72 = 108 \Rightarrow x = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}
Hesaplama adımı.

Anahtar Kavram

Koni Yüzeyinde En Kısa Yol (Açınım)

İpuçları

1
Bir katı cismin yüzeyi üzerindeki 'en kısa yol' sorularında, cismi makasla kesip düz bir kağıt gibi açtığınızı hayal edin.
2
Koninin yanal yüzeyinin açık hali bir daire dilimidir. Bu dilimin merkez açısını α=360∘⋅(r/l)\alpha = 360^\circ \cdot (r/l) formülüyle hesaplayın.
3
Dilim açısı 120∘120^\circ çıkar. B noktası tam karşıda olduğu için bu açının yarısını (60∘60^\circ) kullanın. Şimdi kenarları 12 ve 6, aradaki açısı 60∘60^\circ olan üçgeni çizin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu silindir yüzeyi üzerinde, karıncanın tam tur atarak ilerlediği senaryo için çözün.

Alternatif Yöntem

Oluşan üçgenin kenarları 6 ve 12, aradaki açı 60 derecedir. Bu, özel bir dik üçgendir (30-60-90). Hipotenüs 12 ise ve 60 derecenin bir komşusu 6 (hipotenüsün yarısı) ise, diğer açı 90 derecedir. 60'ın karşısındaki kenar doğrudan 636\sqrt{3} olur.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru