Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorFaktöriyel (Sayma)
xx ve yy birer pozitif tam sayı olmak üzere,
60!18x⋅15y \frac{60!}{18^x \cdot 15^y}
ifadesi bir tam sayı belirtmektedir.

Buna göre, x+yx + y toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

  1. A
    19
  2. B
    20
  3. 21Cevap
  4. D
    27
  5. E
    28

Cevap

Toplamın en büyük değeri 21'dir.
İfadenin tam sayı olması için paydadaki asal çarpan kuvvetlerinin 60! içindeki karşılık gelen asal çarpan sayısını aşmaması gerekir. 60! içindeki 3 çarpanı sayısı 28'dir ve bu çarpan hem 18x18^x hem de 15y15^y terimlerinden gelir (32x+y3^{2x+y}). Bu durum 2x+y≤282x+y \le 28 kısıtını oluşturur. Ayrıca 15y15^y teriminden gelen 5 çarpanı için y≤14y \le 14 kısıtı vardır. Toplamı (x+yx+y) maksimize etmek için, katsayısı küçük olan yy değişkenine mümkün olan en büyük değeri (1414) veririz. Bu durumda 2x+14≤282x+14 \le 28 eşitsizliğinden xx en çok 7 bulunur. Böylece maksimum toplam 21 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanları asal çarpanlarına ayır ve ifadeyi düzenle.
18x=(2⋅32)x=2x⋅32x18^x = (2 \cdot 3^2)^x = 2^x \cdot 3^{2x} ve 15y=(3⋅5)y=3y⋅5y15^y = (3 \cdot 5)^y = 3^y \cdot 5^y. Payda: 2x⋅32x+y⋅5y2^x \cdot 3^{2x+y} \cdot 5^y.
Faktöriyel içindeki asal çarpanların sayısını kontrol edebilmek için tabanların asal olması gerekir.
2
60! içindeki 2, 3 ve 5 asal çarpanlarının sayısını Legendre formülü ile hesapla.
2 sayısı: 56 adet, 3 sayısı: 28 adet, 5 sayısı: 14 adet.
Her bir asal çarpanın faktöriyel içindeki maksimum kuvveti, alabilecekleri değerlerin üst sınırını belirler.
3
Elde edilen verilerle x ve y için eşitsizlik sistemini kur.
1) x≤56x \le 56 (2 çarpanı için)
2) 2x+y≤282x + y \le 28 (3 çarpanı için)
3) y≤14y \le 14 (5 çarpanı için)
Paydadaki asal çarpan kuvvetleri, paydaki (60!) çarpan sayısını geçemez.
4
x+yx+y toplamını maksimize etmek için kısıtları analiz et.
2x+y≤282x+y \le 28 kısıtında xx değişkeninin katsayısı daha büyük olduğundan (2), toplamı artırmak için xx'i küçük, yy'yi büyük seçmeliyiz. yy'nin üst sınırı 14'tür.
Maliyet (katsayı) analizi yaparak hangi değişkenin maksimize edilmesi gerektiğini belirlemek.
5
y=14y=14 değerini en kısıtlayıcı eşitsizliğe koy ve xx'i bul.
2x+14≤28⇒2x≤14⇒x≤72x + 14 \le 28 \Rightarrow 2x \le 14 \Rightarrow x \le 7. En büyük x=7x=7 olur. Toplam: 7+14=217+14=21.
Bulunan değerlerin tüm eşitsizlikleri sağladığından emin olmak.

Anahtar Kavram

Asal Çarpanlara Ayırma ve Legendre Teoremi ile Optimizasyon

İpuçları

1
Önce 18 ve 15 sayılarını asal çarpanlarına ayırarak paydanın tam halini yazın (2a⋅3b⋅5c2^a \cdot 3^b \cdot 5^c formatında).
2
60! içindeki 2, 3 ve 5 çarpanlarının sayısını bulun. 3 çarpanı her iki tabandan da geldiği için (18x18^x ve 15y15^y), bu çarpan için ortak bir eşitsizlik kurmanız gerekecek.
3
3 çarpanı için 2x+y≤282x + y \le 28 eşitsizliğini bulmalısınız. Ayrıca 5 çarpanı için y≤14y \le 14 kısıtı var. x+yx+y toplamını en büyük yapmak için, katsayısı 1 olan yy'yi mümkün olduğunca büyük seçin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, paydasında üç farklı taban bulunan ve daha karmaşık kısıtlar içeren bir faktöriyel sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer vererek deneme yöntemi: y'nin alabileceği maksimum değerin 5 çarpanından dolayı 14 olduğunu görüp, y=14, y=13... değerleri için x'in alabileceği en büyük tam sayı değerlerini tek tek kontrol etmek.
Tahmini Süre:3m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel (Sayma)

Bu konudan daha fazla soru