Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Alan

[AB]⊥[BC][AB] \perp [BC] olan ABCABC dik üçgeninde, CC köşesine ait iç açıortay [AB][AB] kenarını DD noktasında kesmektedir.

∣AD∣=5|AD| = 5 cm ve ∣BD∣=3|BD| = 3 cm olduğuna göre, ADCADC üçgeninin alanı kaç cm2cm^2'dir?

  1. A
    9
  2. B
    10
  3. C
    12
  4. 15Cevap
  5. E
    24

Cevap

ADC üçgeninin alanı 15 cm2cm^2'dir.
Açıortay teoremi gereği kenarlar 3k3k ve 5k5k orantılıdır. Pisagor bağıntısı ile k=2k=2 bulunur ve dik kenar ∣BC∣=6|BC|=6 cm çıkar. İstenen ADCADC üçgeninin tabanı ∣AD∣=5|AD|=5 cm, bu tabana ait yükseklik ise ∣BC∣=6|BC|=6 cm'dir. Alan formülü ile sonuç 15 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Açıortay teoremini uygula.
∣AC∣∣BC∣=∣AD∣∣BD∣=53\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{|AD|}{|BD|} = \frac{5}{3} olduğundan, ∣AC∣=5k|AC| = 5k ve ∣BC∣=3k|BC| = 3k denilebilir.
Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranına göre böler.
2
ABC dik üçgeninde Pisagor bağıntısını kullanarak k değerini bul.
∣AB∣=5+3=8|AB| = 5 + 3 = 8 cm'dir. (5k)2=(3k)2+82⇒25k2=9k2+64⇒16k2=64⇒k=2(5k)^2 = (3k)^2 + 8^2 \Rightarrow 25k^2 = 9k^2 + 64 \Rightarrow 16k^2 = 64 \Rightarrow k = 2.
Hipotenüsün karesi dik kenarların kareleri toplamına eşittir.
3
BC kenar uzunluğunu ve ADC üçgeninin alanını hesapla.
∣BC∣=3k=3(2)=6|BC| = 3k = 3(2) = 6 cm. Alan(ADCADC) = 12⋅∣AD∣⋅∣BC∣=12⋅5⋅6=15\frac{1}{2} \cdot |AD| \cdot |BC| = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 = 15 cm2cm^2.
Geniş açılı veya dik üçgen parçalarında, bir kenara (AD) ait yükseklik o doğrunun uzantısına (BC) inen dikme olabilir. Burada D noktası AB üzerinde olduğundan, AD tabanına ait yükseklik BC uzunluğudur.

Anahtar Kavram

İç Açıortay Teoremi ve Alan Paylaşımı

İpuçları

1
C köşesinden çıkan açıortay, karşı kenarı (AB) komşu kenarların (AC ve BC) oranına göre böler. Bu oranı yazın.
2
∣AC∣|AC| ve ∣BC∣|BC| kenarlarını kk cinsinden ifade edip Pisagor bağıntısı uygulayarak ∣BC∣|BC| uzunluğunu bulun.
3
∣BC∣|BC| uzunluğu 6 cm'dir. ADC üçgeninin alanı için taban olarak AD'yi (5 cm), yükseklik olarak ise BC'yi kullanabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu dik üçgen yerine çeşitkenar bir üçgende, alan oranı verilip kenar uzunluğu sorularak çözün.

Alternatif Yöntem

Tüm alan üzerinden gidilebilir: Alan(ABC) = 12⋅8⋅6=24\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24. Alanlar tabanlarla orantılıdır (Yükseklikleri eşit olduğu için). Tabanlar 5 ve 3 olduğuna göre, toplam 8 birimlik tabana 24 alan düşerse, 5 birimlik tabana (AD) düşen alan 58⋅24=15\frac{5}{8} \cdot 24 = 15 olur.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Alan

Bu konudan daha fazla soru