ABC bir üçgendir. D noktası [BC] kenarı üzerinde, E noktası [AC] kenarı üzerindedir. |BD| … — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

ABC bir üçgendir. D noktası [BC] kenarı üzerinde, E noktası [AC] kenarı üzerindedir. $|BD| = 3|DC|$ ve $|AE| = 2|EC|$ eşitlikleri veriliyor. [AD] ve [BE] doğru parçaları K noktasında kesişmektedir.

Buna göre, Alan(AKE) / Alan(ABC) oranı kaçtır?

A
$\frac{2}{33}$
$\frac{4}{33}$ Cevap
C
$\frac{5}{33}$
D
$\frac{2}{11}$
E
$\frac{4}{11}$

Cevap

4/33

Soruyu çözmek için 'Alan Taban İlişkisi' ve 'Menelaus Teoremi' (veya Kütle Merkezi Yöntemi) kullanılır. İlk olarak Menelaus teoremi ile K noktasının [AD] üzerindeki konumu belirlenir (

|AK|/|KD| = 8/3

). Daha sonra

\text{Alan}(AKE)

\text{Alan}(ADC)

içinde kenar oranlarına göre hesaplanır (

\frac{8}{11} \cdot \frac{2}{3}

). Son olarak

\text{Alan}(ADC)

'nin tüm alana oranı (

\frac{1}{4}

) ile çarpılarak sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Verilen oranları kenarlara yerleştirme

|BD| = 3k, |DC| = k \Rightarrow |BC| = 4k

|AE| = 2m, |EC| = m \Rightarrow |AC| = 3m

Alan oranlarını bulmak için kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi belirlememiz gerekir.

Menelaus Teoremi'ni uygulama

ADC üçgeninde B-K-E keseni için Menelaus:

\frac{|CE|}{|EA|} \cdot \frac{|AK|}{|KD|} \cdot \frac{|DB|}{|BC|} = 1

(Hatalı yön) -> Doğru yön C köşesinden başlar:

\frac{|CE|}{|EA|} \cdot \frac{|AK|}{|KD|} \cdot \frac{|DB|}{|BC|}

değil,

B-K-E

doğrusu

AD

AC

kenarlarını kestiği için

C

köşesinden:

\frac{|CE|}{|EA|} \cdot \frac{|AK|}{|KD|} \cdot \frac{|DB|}{|BC|}

formülü yerine kütle merkezi veya doğru Menelaus sırası kullanılır:

\frac{|CB|}{|BD|} \cdot \frac{|DK|}{|KA|} \cdot \frac{|AE|}{|EC|} = 1

değil.
Doğru Menelaus (ADC üçgeni, B-K-E keseni):

\frac{|CB|}{|BD|} \dots

Hayır, B noktası uzantıda.
En pratik yöntem:

\frac{|AE|}{|EC|} \cdot \frac{|CB|}{|BD|} \cdot \frac{|DK|}{|KA|} = 1 \Rightarrow \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{|DK|}{|KA|} = 1 \Rightarrow \frac{|DK|}{|KA|} = \frac{3}{8}

K noktasının [AD] üzerindeki oranını bulmak (AK/KD) alan paylaşımı için gereklidir.

|AK|=8x, |KD|=3x

bulunur.

Alan(AKE) ile Alan(ADC) ilişkisini kurma

\frac{\text{Alan}(AKE)}{\text{Alan}(ADC)} = \frac{|AK|}{|AD|} \cdot \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{8}{11} \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{33}

Ortak A açısına sahip üçgenlerin alanları, açıyı oluşturan kenarların çarpımı ile orantılıdır (Sinüs alan formülü gereği).

Alan(ADC) ile Alan(ABC) ilişkisini kurma

\frac{\text{Alan}(ADC)}{\text{Alan}(ABC)} = \frac{|DC|}{|BC|} = \frac{1}{4}

Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları tabanları ile orantılıdır.

Sonuç oranını hesaplama

\frac{\text{Alan}(AKE)}{\text{Alan}(ABC)} = \frac{16}{33} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{33}

Zincirleme oranları çarparak istenen sonucu buluruz.

Anahtar Kavram

Üçgende Alan Paylaştırma ve Menelaus Teoremi

İpuçları

Önce ADC üçgeni içinde K noktasının [AD] kenarını hangi oranda böldüğünü bulmaya çalışın.

ADC üçgeni ve B-K-E keseni için Menelaus teoremini uygulayarak AK/KD oranını bulun.

AK/KD = 8/3 bulduktan sonra, AKE alanını Sinüs Alan formülü mantığıyla (kenar çarpımları) ADC alanına oranlayın, sonra ADC'yi ABC'ye oranlayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu Menelaus yerine 'Kelebek Benzerliği' oluşturacak şekilde paralel çizerek çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Kütle Merkezi (Bariçentrik Koordinatlar) Yöntemi: C noktasına 3 birim kütle koyarsak, |BD|=3|DC| olduğu için B noktasına 1 birim, |AE|=2|EC| olduğu için A noktasına 1.5 birim kütle düşer. Tam sayılarla çalışmak için hepsini 2 ile genişletelim:

m(C)=6, m(B)=2, m(A)=3

. Bu durumda D noktasındaki yük 8, E noktasındaki yük 9 olur. K noktası [AD] üzerinde olduğu için

m(A)\cdot |AK| = m(D)\cdot |KD| \Rightarrow 3|AK| = 8|KD|

. Buradan oran

8/3

kolayca bulunur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru