Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorFaktöriyel (Temel)
AA ve BB pozitif tam sayılar olmak üzere,
21!⋅A=B3 21! \cdot A = B^3
eşitliğini sağlayan en küçük AA sayısının farklı asal çarpanlarının toplamı kaçtır?
  1. A
    46
  2. 65Cevap
  3. C
    67
  4. D
    70
  5. E
    77

Cevap

65
21! sayısının asal çarpanlarını incelediğimizde, üsleri 3'ün katı olmayan asallar 5, 11, 13, 17 ve 19'dur. Bu asalları tamamlayacak en küçük A sayısının asal çarpanları da bu sayılardır. Toplamları 5+11+13+17+19=655+11+13+17+19=65 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
21! sayısının asal çarpanlarının kuvvetlerini Legendre formülü ile hesapla.
218⋅39⋅54⋅73⋅111⋅131⋅171⋅1912^{18} \cdot 3^9 \cdot 5^4 \cdot 7^3 \cdot 11^1 \cdot 13^1 \cdot 17^1 \cdot 19^1
Bir sayının tam küp olabilmesi için tüm asal çarpanlarının üslerinin 3'ün katı olması gerekir.
2
Küp olma şartını sağlamayan (üssü 3'ün katı olmayan) asal çarpanları belirle.
5 (üssü 4), 11 (üssü 1), 13 (üssü 1), 17 (üssü 1), 19 (üssü 1). (2'nin üssü 18 ve 3'ün üssü 9, 7'nin üssü 3 zaten 3'ün katıdır).
Tam küp olması için eksik kuvvetleri A sayısı tamamlamalıdır.
3
A sayısının içermesi gereken en küçük asal çarpanları belirle.
A=52⋅112⋅132⋅172⋅192A = 5^2 \cdot 11^2 \cdot 13^2 \cdot 17^2 \cdot 19^2 olmalıdır (üsleri 3'ün katına tamamlamak için).
54⋅52=565^4 \cdot 5^2 = 5^6, 111⋅112=11311^1 \cdot 11^2 = 11^3 vb. hepsi küp olur.
4
A sayısının farklı asal çarpanlarını topla.
5+11+13+17+19=655 + 11 + 13 + 17 + 19 = 65
Soru bizden A'nın değerini değil, asal çarpanlarının toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Asal Çarpanlara Ayırma ve Tam Kuvvet Özellikleri

İpuçları

1
Önce 21! sayısını asal çarpanlarına ayırın (Legendre formülünü kullanın).
2
Bir sayının tam küp (B3B^3) olabilmesi için, asal çarpanlarının üslerinin 3'ün katı (3, 6, 9...) olması gerekir.
3
21! içinde üssü 3'ün katı olmayan asalları bulun. A sayısı bu eksik üsleri tamamlamalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla n!⋅x=y2n! \cdot x = y^2 (tam kare) yapan en küçük x değerini soran sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Asalları tek tek kontrol etmek yerine, sadece 'kritik' asallara (üssü 3'ün katı olma ihtimali düşük olan büyük asallara) odaklanıp, küçük asalları (2, 3, 5, 7) kontrol ederek hız kazanılabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel (Temel)

Bu konudan daha fazla soru