Examkin

Soru

Zorluk: Zorİkizkenar ve Eşkenar Üçgen

AB=ACAB = AC olan bir ABCABC ikizkenar üçgeninin BCBC tabanı üzerinde bir PP noktası alınıyor. PP noktasından ABAB kenarına indirilen dikmenin uzunluğu 44 cm, ACAC kenarına indirilen dikmenin uzunluğu 66 cm'dir.

m(BAC^)=30∘m(\widehat{BAC}) = 30^\circ olduğuna göre, ABCABC üçgeninin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

  1. A
    50
  2. B
    75
  3. 100Cevap
  4. D
    1003100\sqrt{3}
  5. E
    200

Cevap

İkizkenar üçgen özelliğinden yan kenara ait yükseklik 10 cm bulunur, bu değer ve tepe açısı kullanılarak alan 100 cm² olarak hesaplanır.
İkizkenar üçgenin tabanından yan kenarlara inilen dikmelerin toplamı, yan kenara ait yüksekliği verir (h=4+6=10h = 4+6=10). Tepe açısı 30∘30^\circ olduğu için, yan kenar uzunluğu sin⁡(30∘)=h/kenar\sin(30^\circ) = h / \text{kenar} bağıntısından 20 cm bulunur. Alan ise (20×10)/2=100(20 \times 10) / 2 = 100 cm²'dir.

Adım Adım Çözüm

1
İkizkenar üçgen özelliğini hatırla ve uygula
hc=∣PD∣+∣PE∣=4+6=10h_c = |PD| + |PE| = 4 + 6 = 10 cm
İkizkenar üçgenin tabanı üzerindeki bir noktadan eşit kenarlara indirilen dikmelerin toplamı, eşit kenarlardan birine ait yüksekliğe eşittir.
2
Eşit kenar uzunluğunu (bb) bulmak için oluşan dik üçgeni kullan
sin⁡(30∘)=hcb⇒12=10b⇒b=20\sin(30^\circ) = \frac{h_c}{b} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{10}{b} \Rightarrow b = 20 cm
Yükseklik çizildiğinde oluşan dik üçgende, 30∘30^\circ'nin karşısındaki kenar (yükseklik) hipotenüsün (eşit kenar) yarısıdır.
3
Üçgenin alanını hesapla
Alan = 12×taban×yu¨kseklik=12×20×10=100\frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \times 20 \times 10 = 100 cm2\text{cm}^2
Kenar uzunluğu 20 cm ve bu kenara ait yükseklik 10 cm bulunduğuna göre standart alan formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

İkizkenar Üçgenin Yardımcı Eleman Özellikleri

İpuçları

1
İkizkenar bir üçgende taban üzerindeki bir noktadan eş kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, üçgenin eş kenarlarına ait yüksekliğe eşittir.
2
Yüksekliği 10 cm olarak bulduktan sonra, tepe açısı 30 derece olan dik üçgeni düşünün. 30-60-90 üçgeninde 30 derecenin karşısı hipotenüsün yarısıdır.

Daha Fazla Pratik

Eşkenar üçgenin içindeki bir noktadan kenarlara inilen dikmelerin toplamının yüksekliğe eşit olduğu durumla ilgili bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Alan Parçalama Yöntemi: Üçgeni AP doğrusu ile ikiye ayırın. Alan(ABP) + Alan(APC) = Alan(ABC). Yani (AB*4)/2 + (AC*6)/2 = Alan. AB=AC=x derseniz, Alan = 2x + 3x = 5x olur. Sinüslü alan formülünden Alan = 1/2 * x * x * sin(30) = x^2/4. Buradan 5x = x^2/4 eşitliği ile x=20 bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

İkizkenar ve Eşkenar Üçgen

Bu konudan daha fazla soru