Examkin

Soru

Zorluk: ZorArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bir matematik yazılımı, girilen kk pozitif çift tam sayısından başlayarak nn tane ardışık çift tam sayıyı toplamakta ve sonucu ekrana yansıtmaktadır. Yazılıma aynı kk değeri girilip terim sayısı n+3n+3 olarak ayarlandığında, hesaplanan toplamın ilk duruma göre 192192 arttığı görülmüştür. Buna göre, yazılımın ilk durumda topladığı sayı dizisinin en büyük elemanı kaçtır?

  1. A
    58
  2. 60Cevap
  3. C
    62
  4. D
    64
  5. E
    66

Cevap

İlk dizinin en büyük elemanı 60'tır.
Verilen iki durum arasındaki fark denklemi kurulduğunda 2n+k=622n + k = 62 eşitliği elde edilir. İlk dizinin en büyük elemanı (son terim), k+(n−1)2k + (n-1)2 formülü ile bulunur. Bu ifade k+2n−2k + 2n - 2 şeklinde düzenlenip elde edilen eşitlik yerine yazıldığında sonuç 62−2=6062 - 2 = 60 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk durumdaki toplamı (S1S_1) formüle dök.
S1=n2(2k+(n−1)2)=n(k+n−1)S_1 = \frac{n}{2}(2k + (n-1)2) = n(k + n - 1)
Ardışık çift sayıların toplam formülü: Terim Sayısı2(I˙lk+Son)\frac{\text{Terim Sayısı}}{2}(\text{İlk} + \text{Son}) veya n2(2a1+(n−1)d)\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d).
2
İkinci durumdaki toplamı (S2S_2) formüle dök (n+3n+3 terim için).
S2=n+32(2k+(n+3−1)2)=(n+3)(k+n+2)S_2 = \frac{n+3}{2}(2k + (n+3-1)2) = (n+3)(k + n + 2)
Terim sayısı 3 artmıştır, başlangıç sayısı kk aynıdır.
3
İki toplam arasındaki farkı verilen değere eşitle ve denklemi çöz.
(n+3)(k+n+2)−n(k+n−1)=192  ⟹  6n+3k+6=192  ⟹  2n+k=62(n+3)(k+n+2) - n(k+n-1) = 192 \implies 6n + 3k + 6 = 192 \implies 2n + k = 62
Parantezler açılıp sadeleştirme yapıldığında nk+n2+2n+3k+3n+6−nk−n2+n=192nk + n^2 + 2n + 3k + 3n + 6 - nk - n^2 + n = 192 elde edilir.
4
İlk dizinin en büyük elemanını bul.
Son Terim = k+(n−1)2=k+2n−2k + (n-1)2 = k + 2n - 2. 2n+k=622n+k=62 olduğuna göre, Son Terim = 62−2=6062 - 2 = 60.
Ardışık dizilerde son terim an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d formülüyle bulunur.

Anahtar Kavram

Ardışık çift sayıların toplamı ve genel terim formülü arasındaki cebirsel ilişki.

İpuçları

1
Ardışık çift sayıların toplam formülünü hatırlayın: Terim Sayısı ×\times Ortanca Terim veya n2(2a1+(n−1)d)\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d).

Daha Fazla Pratik

Ardışık tek sayılar için benzer bir fark problemi çözerek (n)2(n)^2 kuralını pekiştirin.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bu konudan daha fazla soru