Examkin

Soru

Zorluk: ZorKatı Cisimler

Tepe noktası aşağıya gelecek şekilde, dik konumda yerleştirilmiş dairesel koni biçimindeki boş bir su deposuna sabit hızla su akıtan bir musluk açılıyor. Depodaki suyun yüksekliği, deponun toplam derinliğinin 13\frac{1}{3}'üne ulaştığında aradan 2 dakika geçtiği gözlemleniyor. Buna göre, deponun henüz dolmamış kısmının tamamen dolması için kaç dakika daha geçmesi gerekir?

  1. A
    4
  2. B
    16
  3. C
    26
  4. 52Cevap
  5. E
    54

Cevap

Deponun kalan kısmının dolması için 52 dakika daha gerekir.
Koninin dolan kısmı ile tamamı benzer cisimlerdir ve benzerlik oranı 1/31/3'tür. Hacimler oranı bu oranın küpü, yani (1/3)3=1/27(1/3)^3 = 1/27 olur. Bu, dolan kısmın hacmi VV ise deponun tamamının hacminin 27V27V olduğu anlamına gelir. Deponun henüz dolmayan kısmı 27V−V=26V27V - V = 26V hacmindedir. VV hacmindeki su 2 dakikada dolduğuna göre, 26V26V hacmindeki boş kısım 26×2=5226 \times 2 = 52 dakikada dolar.

Adım Adım Çözüm

1
Dolan kısım (küçük koni) ile deponun tamamı (büyük koni) arasındaki benzerlik oranını belirle.
Benzerlik oranı k=13k = \frac{1}{3}'tür.
Suyun yüksekliği toplam yüksekliğin 3'te 1'i kadardır.
2
Benzerlik oranını kullanarak hacimler oranını hesapla.
VsuVdepo=k3=(13)3=127\frac{V_{su}}{V_{depo}} = k^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}
Benzer cisimlerin hacimleri oranı, benzerlik oranının küpüne eşittir.
3
Dolan ve kalan kısımların hacimlerini birim cinsinden ifade et.
Dolan hacim VV ise, toplam hacim 27V27V, kalan boş hacim 27V−V=26V27V - V = 26V'dir.
Deponun tamamından dolan kısmı çıkararak kalan kısmı buluruz.
4
Orantı kurarak kalan süreyi hesapla.
VV hacim 2 dakikada doluyorsa, 26V26V hacim 26×2=5226 \times 2 = 52 dakikada dolar.
Musluk sabit hızla aktığı için süre hacimle doğru orantılıdır.

Anahtar Kavram

Katı cisimlerde hacimler oranı, benzerlik oranının küpüne eşittir (k3k^3 kuralı).

İpuçları

1
Bir koni tepesinden kesildiğinde oluşan küçük koni ile büyük koni benzerdir.
2
Benzer iki cismin hacimleri oranı, benzerlik oranının küpüne (k3k^3) eşittir.
3
Dolan kısmın hacmi 1 birimse, toplam hacim 33=273^3=27 birimdir. Kalan kısmı buna göre oranlayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, koni yerine yüksekliği orantılı bölünen bir kare piramit için çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Toplam süreyi TT olarak düşünürsek, (1/3)3=2/T(1/3)^3 = 2/T denkleminden T=54T=54 bulunur. Kalan süre T−2=52T - 2 = 52 dakikadır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru