Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bir kamu kurumunun arşiv biriminde dosyalar, 11'den başlayarak nn'ye kadar ardışık tam sayılarla numaralandırılmıştır. Yapılan bir denetim sırasında, dosyalardan birinin kaybolduğu tespit edilmiştir. Mevcut (kalan) dosyaların numaralarının aritmetik ortalaması 31,231,2 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, kaybolan dosyanın numarası aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    12
  2. 19Cevap
  3. C
    31
  4. D
    41
  5. E
    61

Cevap

Kaybolan dosyanın numarası 19'dur.
Bu soruda iki bilinmeyen (nn ve kayıp sayı kk) varmış gibi görünse de, ortalamanın sınırları ve tam sayı olma şartı nn'yi tek bir değere sabitler. 1'den nn'ye kadar olan sayılardan biri çıkarıldığında, yeni ortalama (Ayeni)(A_{yeni}), teorik ortalama olan n+12\frac{n+1}{2} değerine çok yakındır. Kesin sınırlar: n2≤Ayeni≤n2+1\frac{n}{2} \le A_{yeni} \le \frac{n}{2} + 1. Verilen 31,231,2 değeri için bu eşitsizlik 60,4≤n≤62,460,4 \le n \le 62,4 sonucunu verir. Ayrıca kalan dosya sayısı ile 31,231,2 çarpıldığında tam sayı (kalanların toplamı) elde edilmelidir. 31,2=156531,2 = \frac{156}{5} olduğundan kalan dosya sayısı 5'in katı olmalıdır. Bu aralıkta bu şartı sağlayan tek sayı n=61n=61'dir. Toplam farkından kayıp sayı 19 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kalan dosyaların ortalamasının sınırlarını kullanarak toplam dosya sayısı nn'yi sınırla.
nn değeri 60,460,4 ile 62,462,4 arasındadır.
1'den nn'ye kadar olan sayılardan en büyüğü (nn) çıkarılırsa ortalama en az (n/2n/2), en küçüğü (11) çıkarılırsa ortalama en çok (n/2+1n/2 + 1) olur.
2
Ortalamanın kesirli kısmına bakarak nn'nin tam sayı değerini belirle.
n=61n = 61 olmalıdır.
Ortalama 31,2=156/531,2 = 156/5 olduğundan, kalan dosya sayısı (n−1n-1) 5'in katı olmalıdır. Aralıktaki tam sayılardan (61, 62) sadece 61 bu şartı sağlar (61−1=6061-1=60).
3
Toplam formülünü kullanarak kaybolan sayıyı (kk) hesapla.
k=1891−1872=19k = 1891 - 1872 = 19.
Tüm toplam 61×622=1891\frac{61 \times 62}{2} = 1891. Kalanların toplamı 60×31,2=187260 \times 31,2 = 1872. Fark kaybolan sayıdır.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların toplamı ve aritmetik ortalama sınırları arasındaki ilişki.

İpuçları

1
1'den n'ye kadar olan sayıların ortalaması yaklaşık n/2'dir. Verilen 31,2 ortalamasını kullanarak n için bir aralık tahmin edebilirsiniz.
2
Bir sayı çıkarıldığında ortalama en fazla 0,5 artar veya azalır. Yani n değeri 2 * 31,2 = 62,4 civarındadır.
3
Kalan dosya sayısı (n-1) ile 31,2 çarpıldığında sonuç bir tam sayı olmalıdır. 31,2 = 312/10 = 156/5 kesrini düşünün.

Alternatif Yöntem

Ortalama değişimi üzerinden çözüm: Orijinal ortalama (n+1)/2'dir. n=61 için ortalama 31'dir. Yeni ortalama 31,2 olduğuna göre artış 0,2'dir. Ortalama artışı (Çıkan Sayı Farkı / Kalan Sayı) formülüyle de ilişkilendirilebilir.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bu konudan daha fazla soru