Examkin

Soru

Zorluk: ZorKatı Cisimler

Taban yarıçapı r=5πr = \frac{5}{\pi} cm ve yüksekliği h=24h = 24 cm olan dik dairesel silindir şeklindeki bir kutunun taban çevresi üzerindeki A noktasında bulunan bir karınca, kutunun yanal yüzeyi üzerinden bir tam tur atarak A noktasının tam üzerinde ve üst taban kenarında bulunan B noktasına gitmek istiyor. Buna göre, karıncanın alabileceği en kısa yol kaç cm'dir?

  1. A
    24
  2. B
    25
  3. 26Cevap
  4. D
    30
  5. E
    34

Cevap

Karıncanın alacağı en kısa yol 26 cm'dir.
Silindir yüzeyi üzerinde bir tam tur atarak en kısa yoldan gitmek, silindirin yanal yüzeyi açıldığında oluşan dikdörtgenin köşegeni boyunca hareket etmek demektir. Taban çevresi 2π(5π)=102\pi(\frac{5}{\pi}) = 10 cm ve yükseklik 24 cm olduğundan, oluşan dik üçgenin kenarları 10 ve 24 cm'dir. Pisagor bağıntısıyla hipotenüs 26 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Silindirin yanal yüzeyini düz bir dikdörtgen olarak açın.
Bir kenarı taban çevresi, diğer kenarı yükseklik olan bir dikdörtgen elde edilir.
Silindir üzerindeki 'bir tam tur' hareketi, açılmış dikdörtgende karşı köşeye giden köşegen yoluna karşılık gelir.
2
Taban çevresini hesaplayın.
Çevre = 2πr=2π⋅5π=102\pi r = 2\pi \cdot \frac{5}{\pi} = 10 cm.
Yatayda alınan yol silindirin taban çevresi kadardır.
3
Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını uygulayın.
Dik kenarlar 10 cm ve 24 cm'dir.
Yatay kenar 10, dikey kenar (yükseklik) 24 cm'dir.
4
Hipotenüs uzunluğunu bulun.
x=102+242=100+576=676=26x = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26 cm.
Bu üçgen 5-12-13 özel üçgeninin 2 katı olan 10-24-26 üçgenidir.

Anahtar Kavram

Silindir Yüzeyinde En Kısa Yol (Yüzey Açınımı)

İpuçları

1
Silindirin yanal yüzeyini bir kağıt gibi açtığınızı düşünün. A ve B noktaları bu açık kağıt üzerinde nerede olur?
2
Açılmış şekilde oluşan dikdörtgenin bir kenarı silindirin yüksekliği (hh), diğer kenarı ise taban çevresi (2πr2\pi r) olacaktır.
3
Oluşan dik üçgenin kenarları 10 ve 24 cm'dir. 5-12-13 özel üçgenini hatırlayın.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru