Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFaktöriyel (Sayma)
nn bir doğal sayı olmak üzere,
(n+1)!−n!(n+1)!+n!=45 \frac{(n+1)! - n!}{(n+1)! + n!} = \frac{4}{5}
eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
  1. A
    4
  2. B
    6
  3. 8Cevap
  4. D
    9
  5. E
    10

Cevap

Eşitliği sağlayan n değeri 8'dir.
Verilen eşitlikte (n+1)!(n+1)! ifadesi (n+1)⋅n!(n+1) \cdot n! şeklinde açılarak pay ve payda n!n! parantezine alınır. Sadeleştirme yapıldığında nn+2=45\frac{n}{n+2} = \frac{4}{5} denklemi elde edilir. İçler dışlar çarpımı ile 5n=4n+85n = 4n + 8 bulunur ve buradan n=8n=8 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki büyük faktöriyelleri, küçük olana benzeterek açalım.
(n+1)!=(n+1)⋅n!(n+1)! = (n+1) \cdot n! şeklinde yazılır.
Faktöriyel içeren kesirli ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için terimler ortak çarpan parantezine alınmalıdır.
2
İfadeyi n!n! parantezine alıp sadeleştirelim.
n!(n+1)−n!n!(n+1)+n!=n!((n+1)−1)n!((n+1)+1) \frac{n!(n+1) - n!}{n!(n+1) + n!} = \frac{n!((n+1) - 1)}{n!((n+1) + 1)}
Pay ve paydadaki ortak n!n! çarpanları birbirini götürür.
3
Kalan cebirsel ifadeyi düzenleyip eşitleyelim.
nn+2=45 \frac{n}{n+2} = \frac{4}{5}
Sadeleştirme sonucu elde edilen birinci dereceden denklem çözülmelidir.
4
İçler dışlar çarpımı yaparak nn değerini bulalım.
5n=4(n+2)⇒5n=4n+8⇒n=85n = 4(n+2) \Rightarrow 5n = 4n + 8 \Rightarrow n = 8
Denklem çözümü tamamlanır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Sadeleştirme ve Denklem Çözme
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel (Sayma)

Bu konudan daha fazla soru