Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bir kamu kurumundaki arşivleme çalışmaları kapsamında, 11'den nn'ye kadar ardışık tam sayılarla numaralandırılmış toplam nn adet dosya iki farklı arşive yerleştirilecektir. 11'den kk'ye kadar numaralı dosyalar A arşivine, k+1k+1'den nn'ye kadar numaralı dosyalar ise B arşivine konulmuştur. A arşivindeki dosyaların numaraları toplamı XX, B arşivindeki dosyaların numaraları toplamı YY olarak belirlenmiştir.

k=10k = 10 ve Y−X=100Y - X = 100 olduğuna göre, arşivlenen toplam dosya sayısı (nn) kaçtır?

  1. A
    17
  2. B
    19
  3. 20Cevap
  4. D
    21
  5. E
    24

Cevap

Toplam dosya sayısı 20'dir.
Doğru cevap olan 20 değeri; A arşivindeki ilk 10 dosyanın toplamı olan 55 ile bu değerden 100 fazla olan B arşivi toplamı 155 toplandığında elde edilen 210 genel toplamına tam olarak uymaktadır. 11'den 2020'ye kadar olan sayıların toplamı 20×212=210\frac{20 \times 21}{2} = 210 olduğundan eşitlik sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1
A arşivindeki dosyaların numaraları toplamını (XX) bulun.
X=1+2+⋯+10=10×112=55X = 1 + 2 + \dots + 10 = \frac{10 \times 11}{2} = 55
A arşivi 11'den k=10k=10'a kadar olan dosyaları içermektedir.
2
B arşivindeki dosyaların numaraları toplamını (YY) hesaplayın.
Y−55=100⇒Y=155Y - 55 = 100 \Rightarrow Y = 155
Soruda Y−X=100Y - X = 100 olduğu verilmiştir.
3
Tüm dosyaların numaraları toplamını (SS) belirleyin.
S=X+Y=55+155=210S = X + Y = 55 + 155 = 210
Tüm dosyalar ya A ya da B arşivinde olduğundan, toplam tüm numaraların toplamına eşittir.
4
11'den nn'ye kadar olan sayıların toplam formülünü kullanarak nn'yi bulun.
n(n+1)2=210⇒n(n+1)=420\frac{n(n+1)}{2} = 210 \Rightarrow n(n+1) = 420
Ardışık tam sayıların toplamı n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} formülü ile bulunur.
5
Denklemi sağlayan nn tam sayısını tespit edin.
20×21=420⇒n=2020 \times 21 = 420 \Rightarrow n = 20
420 sayısı, ardışık 20 ve 21 sayılarının çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Ardışık tam sayıların toplamı (Gauss Yöntemi)

İpuçları

1
Arşivlerdeki toplamları ayrı ayrı bulmak yerine, tüm dosyaların genel toplamını bulmaya çalışın.
2
A arşivindeki toplamı (1+2+...+101+2+...+10) hesaplayın ve buna 100 ekleyerek B arşivindeki toplamı bulun.
3
Genel toplam S=X+YS = X + Y olacaktır. X=55X = 55 ve Y=155Y = 155 ise S=210S = 210 olur. n(n+1)2=210\frac{n(n+1)}{2} = 210 denklemini çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu ardışık tek sayılar veya belirli bir katın ardışık sayıları (örneğin 3'ün katları) için çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Y−X=100Y - X = 100 ve Y+X=SY + X = S denklemlerini taraf tarafa toplarsak 2Y=100+S2Y = 100 + S elde ederiz. Buradan da nn değerine gidilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bu konudan daha fazla soru