Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorFaktöriyel (Sayma)
xx bir doğal sayı olmak üzere,
A=(44!+43!)⋅(19!−18!) A = (44! + 43!) \cdot (19! - 18!)
sayısı veriliyor.

A15x\frac{A}{15^x} ifadesi bir tam sayı olduğuna göre, xx'in alabileceği en büyük değer kaçtır?

  1. A
    11
  2. B
    12
  3. 13Cevap
  4. D
    14
  5. E
    15

Cevap

x'in alabileceği en büyük değer 13'tür.
İstenen xx değeri, AA sayısının içindeki 5 çarpanlarının toplam sayısıdır. İlk adımda ifade (43!⋅45)⋅(18!⋅18)(43! \cdot 45) \cdot (18! \cdot 18) şeklinde düzenlenir. 43! içinde 9 adet, 45 sayısında 1 adet, 18! içinde 3 adet 5 çarpanı vardır. Toplamda 9+1+3=139+1+3=13 adet 5 çarpanı bulunduğu için xx en çok 13 olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
A sayısını oluşturan iki parantezli ifadeyi, en küçük faktöriyel parantezine alarak düzenle.
A=[43!(44+1)]⋅[18!(19−1)]=(43!⋅45)⋅(18!⋅18) A = [43!(44 + 1)] \cdot [18!(19 - 1)] = (43! \cdot 45) \cdot (18! \cdot 18)
Faktöriyelli toplama ve çıkarma işlemlerinde işlem yapabilmek için ifade çarpım durumuna getirilmelidir.
2
A sayısının 15'e tam bölünebilmesi için içindeki 3 ve 5 asal çarpanlarının sayısını incele. 15 = 3 x 5 olduğundan, az olan çarpan (genellikle 5) belirleyicidir.
5 çarpanının sayısını bulmak yeterlidir.
Bir sayının 15x15^x'e bölünebilmesi için içinde en az xx tane 3 ve xx tane 5 çarpanı bulunmalıdır. Büyük asal çarpan (5) daha az sayıda bulunacağından xx değerini sınırlar.
3
43! içindeki 5 çarpanı sayısını bul (Legendre formülü: sürekli bölme).
43÷5=843 \div 5 = 8, 8÷5=18 \div 5 = 1. Toplam: 8+1=98 + 1 = 9 adet.
Faktöriyel içindeki asal çarpan sayısı, sayının o asala sürekli bölünmesiyle bulunan bölümlerin toplamıdır.
4
18! içindeki 5 çarpanı sayısını bul.
18÷5=318 \div 5 = 3. Toplam: 3 adet.
18! içinde 5, 10, 15 sayılarından gelen 3 adet 5 çarpanı vardır.
5
Katsayılar (45 ve 18) içindeki 5 çarpanlarını ekle.
45=9⋅545 = 9 \cdot 5 (1 adet 5 var). 18=2⋅918 = 2 \cdot 9 (5 çarpanı yok).
Sadece faktöriyeller değil, parantez dışına alınan sayılar da asal çarpan içerebilir.
6
Tüm 5 çarpanlarını toplayarak x'in maksimum değerini bul.
Toplam = 9 (43!'den) + 1 (45'ten) + 3 (18!'den) + 0 (18'den) = 13.
Çarpım durumundaki ifadelerin üsleri toplanır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren toplam/fark işlemlerinde ifade ortak paranteze alınarak çarpım durumuna getirilmeli, ardından asal çarpan sayısı (Legendre Yöntemi) hesaplanırken katsayılar da ihmal edilmemelidir.

İpuçları

1
Faktöriyelleri toplamak veya çıkarmak yerine, en küçük faktöriyel parantezine alarak ifadeyi çarpım durumuna getirin.
2
15x=3x⋅5x15^x = 3^x \cdot 5^x olduğundan, xx'in en büyük değeri için ifadede kaç tane 5 çarpanı olduğunu bulmanız gerekir.
3
A=43!(44+1)⋅18!(19−1)A = 43!(44+1) \cdot 18!(19-1) şeklinde düzenleyin. Hem faktöriyellerin içindeki hem de parantez dışındaki sayıların (45 ve 18) içindeki 5 çarpanlarını saymayı unutmayın.

Alternatif Yöntem

Sadece 5 çarpanlarına odaklanmak yeterlidir. 44!+43! = 43!*45. 45 sayısı 5'e bölünür (1 tane). 43! ise Legendre formülü ile (8+1=9 tane). 19!-18! = 18!*18. 18'de 5 yok. 18! ise (3 tane). Toplam: 1+9+3 = 13.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel (Sayma)

Bu konudan daha fazla soru