Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorFaktöriyel (Sayma)
xx ve yy birer doğal sayı olmak üzere,
x!y!=720 \frac{x!}{y!} = 720
eşitliğini sağlayan kaç farklı (x,y)(x, y) sıralı ikilisi vardır?
  1. A
    2
  2. B
    3
  3. 4Cevap
  4. D
    5
  5. E
    6

Cevap

Eşitliği sağlayan 4 farklı (x,y)(x, y) ikilisi vardır.
Verilen eşitlikte x!/y!x!/y!, xx'ten y+1y+1'e kadar olan ardışık sayıların çarpımıdır. 720 sayısını veren ardışık çarpımlar incelendiğinde; tek terim olarak 720720 (yani 720!/719!720!/719!), üç terim olarak 10⋅9⋅810 \cdot 9 \cdot 8 (yani 10!/7!10!/7!) ve tam faktöriyel olarak 6!6! (yani 6!/1!6!/1! ve 6!/0!6!/0!) bulunur. Toplamda 4 farklı ikili elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin yapısını analiz et.
x!y!=x⋅(x−1)⋅⋯⋅(y+1)=720\frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdot \dots \cdot (y+1) = 720. Bu ifade, y+1y+1'den xx'e kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımının 720720 olduğunu gösterir.
Faktöriyel tanımı gereği sadeleştirme yapılır.
2
Tek terimli (aşikar) durumu incele.
Tek bir sayı ise x=720x = 720. Bu durumda y=719y = 719 olur. Çözüm 1: (720,719)(720, 719).
Her sayı kendisinin 1 eksiğinin faktöriyeline bölümüne eşittir.
3
Çok terimli ardışık çarpım durumlarını araştır.
10⋅9⋅8=72010 \cdot 9 \cdot 8 = 720. Buradan x=10x=10, en küçük çarpan y+1=8y+1=8 ise y=7y=7. Çözüm 2: (10,7)(10, 7).
720 sayısının ardışık çarpanlara ayrılıp ayrılamayacağı kontrol edilir.
4
Faktöriyel eşitliği durumunu incele (n!=720n! = 720).
6!=7206! = 720'dir. Yani çarpım 11'e kadar inebilir. Bu durumda x=6x=6. Payda 11 olmalıdır. y!=1y! = 1 olması için y=1y=1 veya y=0y=0 olabilir. Çözüm 3: (6,1)(6, 1) ve Çözüm 4: (6,0)(6, 0).
y!=1y! = 1 denkleminin doğal sayılarda iki çözümü vardır: 1!1! ve 0!0!.

Anahtar Kavram

Faktöriyel sadeleştirmesi, ardışık sayıların çarpımı olarak ifade edilebilir. Ayrıca 0!=10! = 1 kuralı unutulmamalıdır.

İpuçları

1
İfadeyi sadeleştirerek x!y!=x⋅(x−1)⋅⋯⋅(y+1)=720\frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdot \dots \cdot (y+1) = 720 olduğunu düşünün.
2
720 sayısını ardışık doğal sayıların çarpımı olarak kaç farklı şekilde yazabileceğinizi araştırın. Örneğin: 10⋅9⋅8=72010 \cdot 9 \cdot 8 = 720.
3
6!=7206! = 720'dir. Paydanın 1 olması için yy hangi değerleri alabilir? 0!0! kuralını unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla x!/y!=120x! / y! = 120 eşitliğini sağlayan kaç farklı ikili olduğunu bulunuz.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel (Sayma)

Bu konudan daha fazla soru