Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKatı Cisimler

Tepe açısı 60∘60^\circ olan ve tepe noktası aşağıya gelecek şekilde dik konumlandırılmış boş bir dik dairesel koninin içine, koninin yan yüzlerine teğet olacak şekilde demir bir küre yerleştiriliyor. Daha sonra koninin içine, su yüzeyi kürenin en üst noktasına teğet olana kadar su dolduruluyor.

Buna göre, koninin içine doldurulan suyun hacminin kürenin hacmine oranı kaçtır?

  1. 54\frac{5}{4}Cevap
  2. B
    94\frac{9}{4}
  3. C
    43\frac{4}{3}
  4. D
    32\frac{3}{2}
  5. E
    74\frac{7}{4}

Cevap

Suyun hacminin kürenin hacmine oranı 5/4'tür.
Kürenin koni içine yerleşimi eksenel kesitte incelendiğinde, 30-60-90 üçgeni oluşur. Küre merkezi tepe noktasından 2r2r uzaklıktadır. Su seviyesi kürenin tepesine kadar (3r3r) yükselir. Bu yükseklikteki koninin hacmi 3πr33\pi r^3, kürenin hacmi ise 43πr3\frac{4}{3}\pi r^3 tür. Aradaki fark suyun hacmini verir (53πr3\frac{5}{3}\pi r^3). Oranlandığında sonuç 54\frac{5}{4} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi iki boyutlu kesit üzerinde modelle.
Eşkenar üçgen (eksenel kesit tepe açısı 60 derece) içine yerleştirilmiş bir daire ve tepe noktası aşağıda olan bir yapı elde edilir. Kürenin yarıçapına rr diyelim.
Üç boyutlu cisimlerin teğetlik durumlarını incelemek için eksenel kesit (2D) kullanmak en güvenilir yöntemdir.
2
Kürenin merkezi ile koninin tepe noktası arasındaki mesafeyi hesapla.
Koninin ekseni açıyı ikiye böler (30∘−30∘30^\circ - 30^\circ). Oluşan dik üçgende, sin⁡(30∘)=r∣TO∣\sin(30^\circ) = \frac{r}{|TO|} olduğundan, ∣TO∣=2r|TO| = 2r bulunur.
30-60-90 üçgeni özellikleri kullanılarak dikey mesafe bulunur.
3
Su seviyesinin yüksekliğini (hh) ve yüzey yarıçapını (RR) bul.
Su seviyesi kürenin tepesinde olduğundan, yükseklik h=∣TO∣+r=2r+r=3rh = |TO| + r = 2r + r = 3r olur. Koni yüzey yarıçapı için tan⁡(30∘)=Rh⇒R=3r⋅13=r3\tan(30^\circ) = \frac{R}{h} \Rightarrow R = 3r \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = r\sqrt{3} bulunur.
Koni hacmini hesaplamak için suyun oluşturduğu koninin boyutlarına ihtiyaç vardır.
4
Dolu kısmın (su + küre) toplam hacmini ve kürenin hacmini hesapla.
Toplam Hacim (VtoplamV_{toplam}) = 13πR2h=13π(r3)2(3r)=13π(3r2)(3r)=3πr3\frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (r\sqrt{3})^2 (3r) = \frac{1}{3} \pi (3r^2) (3r) = 3\pi r^3. Küre Hacmi (Vku¨reV_{küre}) = 43πr3\frac{4}{3}\pi r^3.
Koni ve küre hacim formülleri uygulanır.
5
Suyun hacmini bul ve küre hacmine oranla.
Suyun Hacmi = Vtoplam−Vku¨re=3πr3−43πr3=53πr3V_{toplam} - V_{küre} = 3\pi r^3 - \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{5}{3}\pi r^3. Oran = (5/3)πr3(4/3)πr3=54\frac{(5/3)\pi r^3}{(4/3)\pi r^3} = \frac{5}{4}.
İstenen oran sadeleştirme ile bulunur.

Anahtar Kavram

Katı Cisimlerde Hacim ve Kesit Analizi

İpuçları

1
Problemi çözmek için şeklin tam ortasından dikey bir kesit aldığınızı hayal edin (bir üçgen ve içine yerleşmiş bir daire).
2
Tepe açısı 60∘60^\circ olduğuna göre, simetri ekseni açıyı 30∘−30∘30^\circ - 30^\circ böler. Küre merkezi ile teğet noktası arasındaki dik üçgeni kullanın.
3
Dik üçgende 30∘30^\circ'nin karşısı rr ise, hipotenüs (tepe noktasına uzaklık) 2r2r'dir. Su yüksekliği bu mesafeye rr eklenerek bulunur.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir durumu kare dik piramit içine yerleştirilen küre için sorarak 3 boyutlu düşünme becerisini pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Hacimler oranı benzerlik oranının kübüne eşittir prensibiyle, küçük koni (küreye teğet olan) ile büyük su konisi arasında benzerlik kurulabilir, ancak bu soruda küre hacmi işin içine girdiği için doğrudan formül kullanımı daha güvenlidir.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru