3^x \cdot 5^y = 135 5^x \cdot 3^y = 375 \neşitlikleri veriliyor. Buna göre, x^2 - y^2 ifad… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

3^x \cdot 5^y = 135

5^x \cdot 3^y = 375

eşitlikleri veriliyor. Buna göre,

x^2 - y^2

ifadesinin değeri kaçtır?

İfadenin değeri 8'dir.

Soruda verilen iki üslü denklem, değişkenleri (

x

y

) doğrudan bulmak yerine, sistem olarak düşünülmelidir. Denklemler taraf tarafa çarpıldığında tabanlar birleştirilerek

15^{x+y}=15^4

elde edilir, bu da

x+y=4

sonucunu verir. Denklemler taraf tarafa bölündüğünde ise

(3/5)^{x-y}=(3/5)^2

elde edilir, bu da

x-y=2

sonucunu verir. İstenen

x^2-y^2

ifadesi, iki kare farkı özdeşliği gereği

(x-y)(x+y)

çarpımına eşittir. Dolayısıyla sonuç

2 \cdot 4 = 8

olur.

Verilen iki eşitliği taraf tarafa çarpın.

(3^x \cdot 5^y) \cdot (5^x \cdot 3^y) = 135 \cdot 375

(3^x \cdot 3^y) \cdot (5^x \cdot 5^y) = (27 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 125)

3^{x+y} \cdot 5^{x+y} = 3^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 5^3

15^{x+y} = 3^4 \cdot 5^4 = 15^4

Buradan

x+y = 4

bulunur.

Tabanları farklı üslü ifadelerde üsler toplamını bulmak için denklemlerin çarpılması, ortak üs parantezine almayı sağlar.

Verilen iki eşitliği taraf tarafa bölün (birinciyi ikinciye).

\frac{3^x \cdot 5^y}{5^x \cdot 3^y} = \frac{135}{375}

\frac{3^x}{3^y} \cdot \frac{5^y}{5^x} = \frac{27}{75} = \frac{9}{25}

3^{x-y} \cdot 5^{-(x-y)} = \left(\frac{3}{5}\right)^2

\left(\frac{3}{5}\right)^{x-y} = \left(\frac{3}{5}\right)^2

Buradan

x-y = 2

bulunur.

Üsler farkını bulmak için denklemlerin bölünmesi, aynı tabanların oranlanmasını sağlar.

İstenen ifadeyi iki kare farkı özdeşliği ile hesaplayın.

x^2 - y^2 = (x-y) \cdot (x+y)

x^2 - y^2 = 2 \cdot 4 = 8

x

y

değerlerini ayrı ayrı bulmak yerine özdeşlik kullanmak daha kısa ve güvenilir bir yoldur.

Üslü Denklemlerde Sistem Çözümü ve İki Kare Farkı

x

y

değerlerini tek tek bulmaya çalışmak yerine, eşitlikleri taraf tarafa çarpmayı deneyin.

Eşitlikleri taraf tarafa çarptığınızda

x+y

, böldüğünüzde ise

x-y

ile ilgili bir bağıntı bulacaksınız.

Benzer mantıkla kurgulanmış köklü sayı sistemleri soruları çözülebilir.

x=3

y=1

değerlerini deneme-yanılma yoluyla veya

135 = 3^3 \cdot 5^1

asal çarpanlarına ayırma yöntemiyle doğrudan bularak da sonuca gidilebilir:

3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8

Tahmini Süre:3m 0s

Soru