Examkin

Soru

Zorluk: ZorKartezyen Çarpım
Z\mathbb{Z} tam sayılar kümesi olmak üzere,
A={x∈Z:∣x−1∣≤3}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x-1| \le 3\}
B={1,2,3,4}B = \{1, 2, 3, 4\}
C={x∈Z:x2<16}C = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 16\}
kümeleri veriliyor.

Buna göre, (A×B)∩(C×B)(A \times B) \cap (C \times B) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    16
  2. 24Cevap
  3. C
    28
  4. D
    32
  5. E
    56

Cevap

Doğru cevap 24'tür.
İstenen ifade (A∩C)×B(A \cap C) \times B şeklinde düzenlendiğinde işlem çok daha kısalır. AA kümesi {−2,…,4}\{-2, \dots, 4\} ve CC kümesi {−3,…,3}\{-3, \dots, 3\} olarak bulunduğunda, ortak elemanlar {−2,−1,0,1,2,3}\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} olur. Bu 6 elemanlı küme ile 4 elemanlı BB kümesinin kartezyen çarpımı 6×4=246 \times 4 = 24 elemanlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen ifadeyi kartezyen çarpımın dağılma özelliği kullanarak sadeleştirme
(A×B)∩(C×B)=(A∩C)×B(A \times B) \cap (C \times B) = (A \cap C) \times B
İşlem kolaylığı sağlamak için kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliği kullanılır. Bu sayede iki büyük kümeyi hesaplamak yerine önce kümelerin kesişimi bulunur.
2
A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle bulma
A={−2,−1,0,1,2,3,4}A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} (s(A)=7s(A)=7)
∣x−1∣≤3⇒−3≤x−1≤3⇒−2≤x≤4|x-1| \le 3 \Rightarrow -3 \le x-1 \le 3 \Rightarrow -2 \le x \le 4 eşitsizliğini sağlayan tam sayılar.
3
C kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle bulma
C={−3,−2,−1,0,1,2,3}C = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} (s(C)=7s(C)=7)
x2<16⇒−4<x<4x^2 < 16 \Rightarrow -4 < x < 4 eşitsizliğini sağlayan tam sayılar (sınırlar dahil değil).
4
A ve C kümelerinin kesişimini (A∩CA \cap C) bulma
A∩C={−2,−1,0,1,2,3}A \cap C = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} (s(A∩C)=6s(A \cap C) = 6)
Her iki kümede ortak olan elemanlar belirlenir. -3 elemanı A'da yok, 4 elemanı C'de yoktur.
5
Kartezyen çarpım eleman sayısını hesaplama
s((A∩C)×B)=6×4=24s((A \cap C) \times B) = 6 \times 4 = 24
s(A×B)=s(A)⋅s(B)s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) formülü uygulanır. BB kümesinin eleman sayısı 4'tür.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpımın Kesişim Üzerine Dağılma Özelliği

İpuçları

1
İki kartezyen çarpım kümesinin kesişimini tek tek hesaplamak yerine, (A×B)∩(C×B)=(A∩C)×B(A \times B) \cap (C \times B) = (A \cap C) \times B özdeşliğini kullanmayı deneyin.
2
CC kümesi için x2<16x^2 < 16 eşitsizliğini sağlayan tam sayıları bulurken negatif sayıları ve sınır değerlerini (<<) dikkatli kontrol edin.
3
A={−2,−1,0,1,2,3,4}A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} ve C={−3,−2,−1,0,1,2,3}C = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} kümelerinin ortak elemanlarını bulun ve BB kümesinin eleman sayısıyla çarpın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla (A×B)∪(A×C)(A \times B) \cup (A \times C) işleminin eleman sayısını soran bir soru çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kartezyen Çarpım

Bu konudan daha fazla soru