Şekildeki ABC üçgeninde [DE] \parallel [BC] olmak üzere; ADE üçgeninin alanı 4 \text{ br}^… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $[DE] \parallel [BC]$ olmak üzere; $ADE$ üçgeninin alanı $4 \text{ br}^2$ ve $BCED$ dörtgeninin alanı $21 \text{ br}^2$ olarak verilmiştir.

Buna göre, $\frac{|AD|}{|DB|}$ oranı kaçtır?

A
$\frac{2}{5}$
$\frac{2}{3}$ Cevap
C
$\frac{4}{25}$
D
$\frac{4}{21}$
E
$\frac{16}{25}$

Cevap

İstenen oran

\frac{2}{3}

'tür.

Paralellikten dolayı

ADE

ABC

üçgenleri benzerdir. Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

k^2

). Küçük üçgenin alanı 4, büyük üçgenin alanı

4+21=25

birimkaredir. Alanlar oranı

4/25

olduğundan benzerlik oranı bu değerin karekökü olan

2/5

'tir. Bu oran

|AD|/|AB|

'ye eşittir.

|AD|=2k

ise tamamı

|AB|=5k

olur, geriye kalan parça

|DB|=3k

olur. İstenen oran

2/3

bulunur.

Adım Adım Çözüm

Benzer üçgenleri belirle ve toplam alanı hesapla.

[DE] \parallel [BC]

olduğundan

ADE \sim ABC

'dir. Toplam alan

A(ABC) = A(ADE) + A(BCED) = 4 + 21 = 25 \text{ br}^2

olur.

Paralellik durumunda Temel Benzerlik Teoremi geçerlidir ve büyük üçgenin alanı parçaların toplamına eşittir.

Alanlar oranı ile benzerlik oranı arasındaki ilişkiyi kur.

\frac{A(ADE)}{A(ABC)} = \frac{4}{25}

'tir. Benzerlik oranı

k = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}

bulunur.

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

k^2 = \frac{Alan_1}{Alan_2}

Kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi yaz ve istenen oranı bul.

Benzerlik oranı

k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{2}{5}

'tir. Buradan

|AD| = 2x

dersek,

|AB| = 5x

olur. Dolayısıyla

|DB| = |AB| - |AD| = 5x - 2x = 3x

bulunur. Oran:

\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}

Parça-bütün ilişkisi kullanılarak istenen parçaların oranına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üçgende Benzerlik ve Alan İlişkisi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru