Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

a,ba, b ve cc ardışık çift tam sayılar ve a<b<ca < b < c olmak üzere,

(c−a)2+(b−a)a+b+c=14 \frac{(c-a)^2 + (b-a)}{a + b + c} = \frac{1}{4}

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, bu sayıların en büyüğü olan cc kaçtır?
  1. A
    22
  2. B
    24
  3. 26Cevap
  4. D
    28
  5. E
    30

Cevap

En büyük sayı 26'dır
Ardışık çift sayılar arasındaki fark sabittir (b−a=2b-a=2, c−a=4c-a=4). Bu sabit değerler paydaki bilinmeyenleri ortadan kaldırır. Payda ise üç sayının toplamı olduğundan ortanca sayının 3 katıdır (3b3b). Denklem çözüldüğünde ortanca sayı 24 bulunur, en büyük sayı ise bundan 2 fazladır.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık çift sayılar arasındaki farkları belirle
b=a+2b = a + 2 ve c=a+4c = a + 4 olduğu için; (b−a)=2(b-a) = 2 ve (c−a)=4(c-a) = 4 olur.
Ardışık çift tam sayılar ikişer ikişer artar. Bu sabit farklar, denklemdeki bilinmeyenleri azaltmak için kullanılır.
2
Paydadaki ifadeyi ortanca terim cinsinden yaz
Ardışık sayıların toplamı, terim sayısı ile ortanca terimin çarpımına eşittir: a+b+c=3ba + b + c = 3b.
İşlemleri basitleştirmek için toplamı tek bir değişken cinsinden ifade etmek gerekir.
3
Bulunan değerleri denklemde yerine yaz ve denklemi çöz
42+23b=14⇒16+23b=14⇒183b=14\frac{4^2 + 2}{3b} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{16 + 2}{3b} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{18}{3b} = \frac{1}{4}
Sabit farkları yerine koyarak denklemi tek bilinmeyenli hale getirmek.
4
b değerini bul ve istenen c değerini hesapla
6b=14⇒b=24\frac{6}{b} = \frac{1}{4} \Rightarrow b = 24. En büyük sayı c=b+2c = b + 2 olduğundan, c=24+2=26c = 24 + 2 = 26 bulunur.
Soruda en büyük sayı (cc) istendiği için bulunan ortanca değere (bb) ekleme yapılır.

Anahtar Kavram

Ardışık çift sayılar arasındaki farkın sabit (2) olması ve aritmetik dizide toplamın ortanca terimle ilişkisi.

İpuçları

1
Ardışık çift tam sayılar arasındaki fark daima 2'dir. b−ab-a ve c−ac-a değerlerini sayısal olarak bulabilirsiniz.
2
b−a=2b-a=2 ve c−a=4c-a=4 değerlerini paydaki ifadede yerine yazın. Payda için ise a+c=2ba+c=2b eşitliğini hatırlayın.
3
Denklem 16+23b=14\frac{16+2}{3b} = \frac{1}{4} haline gelir. Buradan bb'yi bulup 2 ekleyerek cc'ye ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Ardışık tek sayılar için benzer bir fark/oran sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Sayıları x,x+2,x+4x, x+2, x+4 şeklinde yazarak da denklem kurulabilir: (4)2+23x+6=14\frac{(4)^2 + 2}{3x+6} = \frac{1}{4}. Buradan xx (en küçük sayı) bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bu konudan daha fazla soru