ABC bir ikizkenar üçgen olmak üzere, |AB| = |AC| eşitliği veriliyor. [AC] kenarı üzerinde … — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

$ABC$ bir ikizkenar üçgen olmak üzere, $|AB| = |AC|$ eşitliği veriliyor. $[AC]$ kenarı üzerinde alınan bir $D$ noktasından $[BC]$ tabanına indirilen dikmenin ayağı $E$ noktasıdır. $|DE| = 4$ cm, $|EC| = 2$ cm ve $|BE| = 10$ cm olduğuna göre, $|AD|$ uzunluğu kaç cm'dir?

A
$3\sqrt{5}$
$4\sqrt{5}$ Cevap
C
$5\sqrt{5}$
D
$6\sqrt{5}$
E
$8$

Cevap

İstenen uzunluk

4\sqrt{5}

cm'dir.

İkizkenar üçgenin tabanına indirilen dikmenin tabanı ikiye bölmesi özelliği ve oluşan dik üçgenler arasındaki 1'e 3 benzerlik oranı kullanılarak çözüm yapılır.

|AC|

kenarı

6\sqrt{5}

|DC|

parçası

2\sqrt{5}

bulunduğundan farkları

4\sqrt{5}

olur.

Adım Adım Çözüm

A

köşesinden

[BC]

tabanına

AH

dikmesi çizilir.

ABC

ikizkenar olduğundan

H

noktası tabanı iki eşit parçaya böler:

|BH| = |HC| = \frac{10+2}{2} = 6

cm.

İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme aynı zamanda kenarortaydır.

DEC

AHC

üçgenleri arasındaki benzerlik oranı bulunur.

Her iki üçgen de dik üçgendir ve

C

açısı ortaktır. Benzerlik oranı

k = \frac{|HC|}{|EC|} = \frac{6}{2} = 3

bulunur.

Açı-Açı benzerlik kuralı gereği dik üçgenler benzerdir.

Benzerlik oranı kullanılarak

|AH|

|AC|

uzunlukları hesaplanır.

|AH| = 3 \cdot |DE| = 3 \cdot 4 = 12

cm.

\triangle AHC

üçgeninde Pisagor ile

|AC| = \sqrt{6^2 + 12^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}

cm bulunur.

Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır.

|DC|

uzunluğu hesaplanıp

|AC|

'den çıkarılır.

\triangle DEC

üçgeninde Pisagor ile

|DC| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

cm. Sonuç:

|AD| = |AC| - |DC| = 6\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}

cm.

D

noktası

[AC]

üzerindedir, bu nedenle fark alınır.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik kenarortaydır ve oluşturulan dik üçgenlerde benzerlik ilişkileri kurulabilir.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru