Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Ardışık nn tane tek tam sayı küçükten büyüğe doğru sıralanıyor. Bu sayıların ilk üçünün toplamı AA, son üçünün toplamı ise BB olarak ifade ediliyor.

B−A=72B - A = 72

olduğuna göre, bu grupta toplam kaç sayı vardır?

  1. A
    11
  2. B
    13
  3. 15Cevap
  4. D
    17
  5. E
    27

Cevap

Verilen sayı grubunda toplam 15 adet sayı bulunmaktadır.
Dizideki ilk üç terimin toplamı ortadaki terim olan a2a_2'nin 3 katı, son üç terimin toplamı ise ortadaki terim olan an−1a_{n-1}'in 3 katıdır. 3(an−1−a2)=723(a_{n-1} - a_2) = 72 eşitliğinden terimler arası farkın 2424 olduğu görülür. Ardışık tek sayılar 2'şer arttığı için an−1−a2=2(n−1−2)=2(n−3)a_{n-1} - a_2 = 2(n-1-2) = 2(n-3) olur. 2(n−3)=242(n-3) = 24 denkleminden n=15n=15 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Sayıları ve toplamları temsil eden ifadeleri belirleme
a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n sayıları için A=a1+a2+a3A = a_1 + a_2 + a_3 ve B=an−2+an−1+anB = a_{n-2} + a_{n-1} + a_n
Soruda verilen ilk üç ve son üç terimin toplamlarını matematiksel olarak ifade etmek gerekir.
2
Ardışık tek sayılarda grup toplamlarını orta terim cinsinden yazma
A=3a2A = 3a_2 ve B=3an−1B = 3a_{n-1}
Ardışık üç sayının toplamı, ortanca terimin 3 katına eşittir.
3
İki toplam arasındaki farkı tek bir terim farkına indirgeme
B−A=3(an−1−a2)=72⇒an−1−a2=24B - A = 3(a_{n-1} - a_2) = 72 \Rightarrow a_{n-1} - a_2 = 24
Verilen fark denkleminde terimler arasındaki ilişkiyi bulmak için sadeleştirme yapılır.
4
Terimler arasındaki indeks farkını ve değer farkını ilişkilendirme
an−1−a2=2×((n−1)−2)=2(n−3)a_{n-1} - a_2 = 2 \times ((n-1) - 2) = 2(n-3)
Ardışık tek sayılar ikişer ikişer artar; kk. terim ile jj. terim arasındaki fark 2×(k−j)2 \times (k-j)'dir.
5
Denklemi çözerek nn değerini bulma
2(n−3)=24⇒n−3=12⇒n=152(n-3) = 24 \Rightarrow n-3 = 12 \Rightarrow n = 15
Elde edilen fark değerini terim sayısı formülüne eşitleyerek toplam sayı adedine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde belirli alt grupların toplamları arasındaki fark, dizinin artış miktarı ve terim sayısı arasındaki doğrusal ilişkiye bağlıdır.

İpuçları

1
Ardışık üç sayının toplamını, bu sayıların tam ortasındaki sayıyı kullanarak ifade etmeyi deneyin.
2
İlk üç sayının ortancası olan 2. terim ile son üç sayının ortancası olan (n−1)(n-1). terim arasındaki farkın kaç olduğunu bulun.
3
Ardışık tek sayılar 2'şer 2'şer artar. İki terim arasındaki fark, o terimlerin sıra numaraları (indeksleri) farkının 2 katıdır.

Daha Fazla Pratik

Ardışık çift sayılarla benzer bir kurgu kurarak farkın nasıl değişeceğini analiz edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sayıları a,a+2,a+4,…a, a+2, a+4, \dots şeklinde yazarak da çözebilirsiniz. İlk üç terim: a,a+2,a+4⇒A=3a+6a, a+2, a+4 \Rightarrow A = 3a + 6. Son üç terim (toplam nn sayı varsa en sonuncusu a+2(n−1)a + 2(n-1)'dir): (a+2n−6)+(a+2n−4)+(a+2n−2)⇒B=3a+6n−12(a + 2n - 6) + (a + 2n - 4) + (a + 2n - 2) \Rightarrow B = 3a + 6n - 12. B−A=(3a+6n−12)−(3a+6)=6n−18=72B - A = (3a + 6n - 12) - (3a + 6) = 6n - 18 = 72 buradan 6n=906n = 90 ve n=15n = 15 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bu konudan daha fazla soru