Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Alan

ABCABC bir üçgendir. D∈[BC]D \in [BC], E∈[AC]E \in [AC] ve F∈[AD]F \in [AD] noktaları için aşağıda verilen eşitlikler sağlanmaktadır:

3∣BD∣=2∣DC∣3|BD| = 2|DC|
∣AE∣=∣EC∣|AE| = |EC|
∣AF∣=2∣FD∣|AF| = 2|FD|

Buna göre, Alan(EFC)\text{Alan}(EFC) değerinin Alan(ABD)\text{Alan}(ABD) değerine oranı kaçtır?

  1. A
    1/4
  2. B
    1/3
  3. 1/2Cevap
  4. D
    2/3
  5. E
    3/4

Cevap

İstenen oran 1/2'dir.
Üçgende alan sorularında, tepe noktası ortak olan üçgenlerin alanları taban uzunluklarıyla doğru orantılıdır. Öncelikle büyük üçgeni ADAD keseni ile tabanları oranında (2k/3k2k/3k) parçalara ayırdık. Alan(ABD)=2S\text{Alan}(ABD) = 2S ve Alan(ADC)=3S\text{Alan}(ADC) = 3S bulduk. Daha sonra ADCADC üçgenini FF noktası üzerinden tabanları oranında (2m/m2m/m) ayırarak Alan(FAC)=2S\text{Alan}(FAC) = 2S elde ettik. Son olarak, EE noktası kenarortay olduğu için FACFAC üçgeninin alanını ikiye böldük ve Alan(EFC)=S\text{Alan}(EFC) = S sonucuna ulaştık. İstenen oran S/2S=1/2S / 2S = 1/2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen oranları parametrik olarak ifade et.
3∣BD∣=2∣DC∣⇒∣BD∣=2k,∣DC∣=3k3|BD| = 2|DC| \Rightarrow |BD|=2k, |DC|=3k. ∣AF∣=2∣FD∣⇒∣FD∣=m,∣AF∣=2m|AF|=2|FD| \Rightarrow |FD|=m, |AF|=2m.
Alan dağılımını yapmak için taban uzunlukları arasındaki oranlar belirlenmelidir.
2
ADAD doğru parçasını taban kabul eden alanları ABCABC üçgenine paylaştır.
Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları tabanları ile orantılıdır. Alan(ABD)=2S\text{Alan}(ABD) = 2S ise Alan(ADC)=3S\text{Alan}(ADC) = 3S olur.
ABCABC üçgeni ADAD doğrusu ile iki parçaya bölünmüştür ve tabanları 2k2k ve 3k3k'dır.
3
ADCADC üçgeni içindeki FF noktasına göre alan dağılımı yap.
ADCADC üçgeninde CC köşesi ortak, tabanlar ADAD üzerindedir. ∣AF∣=2m,∣FD∣=m|AF|=2m, |FD|=m. Alan(FAC)=23⋅Alan(ADC)=23⋅3S=2S\text{Alan}(FAC) = \frac{2}{3} \cdot \text{Alan}(ADC) = \frac{2}{3} \cdot 3S = 2S.
ADCADC üçgeninin alanı taban oranına (2:1) göre FACFAC ve FDCFDC üçgenlerine bölünür.
4
FACFAC üçgeni içindeki EE noktasına göre Alan(EFC)\text{Alan}(EFC)'yi bul.
EE noktası ACAC'nin orta noktasıdır (∣AE∣=∣EC∣|AE|=|EC|). Kenarortay alanı iki eş parçaya böler. Alan(EFC)=12⋅Alan(FAC)=12⋅2S=S\text{Alan}(EFC) = \frac{1}{2} \cdot \text{Alan}(FAC) = \frac{1}{2} \cdot 2S = S.
FEFE, FACFAC üçgeninin kenarortayıdır.
5
Sonuçları oranla.
Alan(EFC)Alan(ABD)=S2S=12\frac{\text{Alan}(EFC)}{\text{Alan}(ABD)} = \frac{S}{2S} = \frac{1}{2}.
Hesaplanan birim alanlar (S cinsinden) birbirine oranlanır.

Anahtar Kavram

Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları, taban uzunlukları ile doğru orantılıdır.

İpuçları

1
Üçgenin alanını hesaplamak için formüle değil, taban uzunlukları ile alan arasındaki ilişkiye odaklanın. Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları tabanları ile orantılıdır.
2
Soruyu çözmeye en küçük parçalardan veya belirli bir referans alan (örneğin S) vererek başlayın. Önce ABCABC üçgenini ADAD çizgisiyle ikiye ayırın.
3
∣BD∣=2k,∣DC∣=3k|BD|=2k, |DC|=3k ise Alan(ABD)=2S,Alan(ADC)=3S\text{Alan}(ABD)=2S, \text{Alan}(ADC)=3S diyebilirsiniz. Sonra 3S3S alanını FF ve EE noktalarına göre parçalara ayırın.

Alternatif Yöntem

Sinüs alan formülü kullanılarak da çözülebilir. Ortak açılara (örneğin C açısı veya A açısı) sahip üçgenlerin alan oranları, açıyı oluşturan kenarların çarpımıyla orantılıdır, ancak taban-alan ilişkisi (yüksekliklerin eşitliği) bu soruda çok daha pratiktir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Alan

Bu konudan daha fazla soru