Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorFaktöriyel (Temel)
nn pozitif bir tam sayı olmak üzere,
Kn=1!⋅2!⋅3!⋅⋯⋅n! K_n = 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot \dots \cdot n!
şeklinde tanımlanıyor.

KnK_n sayısının sondan 24 basamağı sıfır olduğuna göre, nn kaçtır?

  1. A
    15
  2. B
    16
  3. 17Cevap
  4. D
    18
  5. E
    19

Cevap

Sondan 24 basamağı sıfır yapan nn değeri 17'dir.
Sondan gelen sıfır sayısı, çarpımdaki toplam 5 çarpanı sayısına eşittir. 1!1!'den 14!14!'e kadar olan faktöriyellerin sıfır sayıları toplamı 15'tir. 15!, 16! ve 17! sayılarının her biri sonuca 3'er sıfır daha ekler. 15+3+3+3=2415 + 3 + 3 + 3 = 24 olduğundan doğru cevap 17'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi analiz et
KnK_n çarpımının sonundaki sıfır sayısı, çarpımı oluşturan her bir faktöriyel sayısının (1!,2!,…,n!1!, 2!, \dots, n!) sonundaki sıfır sayılarının toplamına eşittir. Bir sayının sonundaki sıfır sayısı, içindeki 5 çarpanlarının sayısına bağlıdır.
Çarpma işleminde tabanların toplanması kuralı gereği, her terimden gelen 10 çarpanı (2 ve 5 çifti) sonuca bir sıfır ekler. 2 çarpanı bol olduğu için belirleyici olan 5 çarpanıdır.
2
Aralıkların sıfır katkılarını hesapla
1!1! ile 4!4! arası: 0 sıfır.
5!5! ile 9!9! arası: Her biri 1 sıfır (Toplam 5 terim).
10!10! ile 14!14! arası: Her biri 2 sıfır (Toplam 5 terim).
15!15! ile 19!19! arası: Her biri 3 sıfır.
k<5k < 5 için 5 çarpanı yoktur. 5≤k<105 \le k < 10 için bir adet 5 çarpanı vardır. 10≤k<1510 \le k < 15 için iki adet (5 ve 10'dan gelen) 5 çarpanı vardır. 15≤k<2015 \le k < 20 için üç adet (5, 10, 15'ten gelen) 5 çarpanı vardır.
3
Kümülatif toplamı hesapla
n=4n=4 için toplam: 0
n=9n=9 için toplam: 0+5×1=50 + 5 \times 1 = 5
n=14n=14 için toplam: 5+5×2=155 + 5 \times 2 = 15
Şu ana kadar 14!14!'e kadar olan çarpımda toplam 15 tane sıfır elde ettik. Hedefimiz 24 sıfıra ulaşmak.
4
Hedef değere ulaşana kadar adım adım ilerle
n=15n=15 için: 15+3=1815 + 3 = 18
n=16n=16 için: 18+3=2118 + 3 = 21
n=17n=17 için: 21+3=2421 + 3 = 24
15'ten itibaren her faktöriyel sayı (15!, 16!, 17!...) toplam sıfır sayısına 3 ekler. n=17n=17 olduğunda tam olarak 24 sıfıra ulaşılır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel çarpımlarında sondan gelen sıfır sayısı kümülatif olarak artar ve her terimin içindeki 5 çarpanı sayısı kadar ekleme yapılır.

İpuçları

1
Bir sayının sonundaki sıfır sayısı, o sayının içindeki 5 çarpanlarının sayısı ile belirlenir. KnK_n bir çarpım olduğu için, her bir faktöriyelden gelen 5 çarpanlarını toplamalısınız.
2
1!1! ile 4!4! arasında 5 çarpanı yoktur. 5!5! ile 9!9! arasındaki her sayı 1 tane 5 çarpanı (1 sıfır) getirir. 10!10! ile 14!14! arası 2 tane getirir. Bu şekilde birikimli toplayın.
3
14!14!'e kadar toplam 15 sıfır birikir. 15!15! sayısı ise 3 tane 5 çarpanı içerir. 15'ten itibaren 24'e ulaşmak için kaç adım gitmeniz gerektiğini hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla KnK_n sayısının sondan kaç basamağının 9 olduğunu soran sorular (yani Kn+1K_n + 1 sayısı) da bu konuyu pekiştirir.

Alternatif Yöntem

Tablo yöntemi: nn değerlerini gruplayarak (1-4, 5-9, 10-14, 15-19) her grubun toplam sıfır katkısını yazıp kümülatif toplamın 24 olduğu noktayı bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel (Temel)

Bu konudan daha fazla soru