Examkin

İkizkenar ve Eşkenar Üçgen

30 soru

Soru 21Soru →

Bir kenar uzunluğu 3 birim olan ABCABC eşkenar üçgeni, [AB][AB] kenarı üzerindeki bir DD noktası ve [AC][AC] kenarı üzerindeki bir EE noktası boyunca katlanıyor. Bu katlama işlemi sonucunda AA köşesi, [BC][BC] kenarı üzerindeki A′A' noktası ile çakışmaktadır.

∣BA′∣=1|BA'| = 1 birim olduğuna göre, ∣BD∣|BD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 85\frac{8}{5}

Cevap

Doğru cevap 85\frac{8}{5} birimdir.
Sorunun çözümü, katlama sonucu oluşan açı ilişkilerini fark etmeye dayanır. AA köşesi 60∘60^\circ olduğu için katlanan A′A' köşesindeki açı da 60∘60^\circ olur. Bu durum, BCBC kenarı üzerindeki A′A' noktasının sağında ve solunda kalan üçgenlerin açılarının birbirini tamamlamasını sağlar. △BDA′\triangle BDA' ve △CA′E\triangle CA'E üçgenleri arasında kurulan benzerlik (60∘60^\circ'lerin karşısı değil, 120∘−α120^\circ-\alpha ve α\alpha açılarının karşısı) ve kenar uzunlukları denklemi (xy=2xy=2 ve 3y−xy=3−y3y-xy=3-y) çözüldüğünde ∣BD∣=8/5|BD|=8/5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşkenar üçgen ve katlama özelliklerini belirle
△ABC\triangle ABC eşkenar olduğu için m(B^)=m(C^)=60∘m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = 60^\circ. Katlama nedeniyle △ADE≅△A′DE\triangle ADE \cong \triangle A'DE, yani ∣AD∣=∣A′D∣|AD| = |A'D| ve m(DA′E^)=m(A^)=60∘m(\widehat{DA'E}) = m(\widehat{A}) = 60^\circ.
Geometrik şeklin temel açı özelliklerini ve katlamanın koruduğu uzunluk/açıları kullanmak için.
2
Oluşan alt üçgenler arasındaki benzerliği kur
BCBC doğrusu üzerinde 180∘180^\circ tamamlamadan: m(BA′D^)+60∘+m(CA′E^)=180∘m(\widehat{BA'D}) + 60^\circ + m(\widehat{CA'E}) = 180^\circ. Ayrıca △BDA′\triangle BDA' iç açılarından m(BA′D^)+60∘+m(BDA′^)=180∘m(\widehat{BA'D}) + 60^\circ + m(\widehat{BDA'}) = 180^\circ. Buradan m(BDA′^)=m(CA′E^)m(\widehat{BDA'}) = m(\widehat{CA'E}) bulunur. Açı-Açı benzerliği ile △BDA′∼△CA′E\triangle BDA' \sim \triangle CA'E.
Bilinmeyen kenar uzunluklarını bulmak için benzerlik oranlarını yazmak şarttır.
3
Verilen uzunlukları ve değişkenleri yerleştirip denklemi kur
∣BA′∣=1|BA'|=1 ise ∣A′C∣=3−1=2|A'C|=3-1=2. ∣BD∣=x|BD|=x ve ∣CE∣=y|CE|=y diyelim. Benzerlik oranı: ∣BD∣∣CA′∣=∣BA′∣∣CE∣⇒x2=1y⇒xy=2\frac{|BD|}{|CA'|} = \frac{|BA'|}{|CE|} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{1}{y} \Rightarrow xy = 2.
Benzer üçgenlerde aynı açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır.
4
Diğer benzerlik oranını kullanarak sistemi çöz
Diğer oran: ∣DA′∣∣A′E∣=∣BA′∣∣CE∣\frac{|DA'|}{|A'E|} = \frac{|BA'|}{|CE|}. ∣DA′∣=∣AD∣=3−x|DA'|=|AD|=3-x ve ∣A′E∣=∣AE∣=3−y|A'E|=|AE|=3-y olduğundan, 3−x3−y=1y\frac{3-x}{3-y} = \frac{1}{y}. İçler dışlar çarpımı: 3y−xy=3−y3y - xy = 3 - y. xy=2xy=2 olduğu için 3y−2=3−y⇒4y=5⇒y=5/43y - 2 = 3 - y \Rightarrow 4y = 5 \Rightarrow y = 5/4.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek istenen uzunluğa ulaşmak.
5
Sonucu hesapla
xy=2xy = 2 ve y=5/4y = 5/4 ise, x=2/(5/4)=8/5x = 2 / (5/4) = 8/5.
∣BD∣|BD| uzunluğu xx olarak tanımlanmıştı.

Anahtar Kavram

Katlama sorularında, katlanan bölgenin eşliği (açı ve kenar korunumu) ile oluşan yeni üçgenler arasındaki Açı-Açı benzerliği birlikte kullanılır.

İpuçları

1
Katlama sorularında, katlanan üçgen ile açılan üçgenin eş olduğunu (∣AD∣=∣A′D∣|AD|=|A'D| ve açıların aynen taşındığını) unutmayınız.
2
A′A' noktası BCBC üzerinde olduğunda, doğru açı 180∘180^\circ'dir. m(DA′E^)=60∘m(\widehat{DA'E})=60^\circ bilgisini kullanarak sol ve sağdaki üçgenlerin açıları arasında bir ilişki kurunuz.
3
Soldaki △BDA′\triangle BDA' ile sağdaki △CA′E\triangle CA'E benzerdir. Kenarlara xx ve yy diyerek benzerlik oranlarını yazınız: ∣BD∣/∣CA′∣=∣BA′∣/∣CE∣|BD|/|CA'| = |BA'|/|CE|.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir katlama sorusunu kare veya dikdörtgen üzerinde deneyerek açı taşıma pratiği yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi kullanılarak da çözülebilir ancak benzerlik yöntemi çok daha kısa sürer.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 22Soru →

∣AB∣=∣AC∣=17|AB| = |AC| = 17 cm olan ABCABC ikizkenar üçgeninin [BC][BC] kenarı üzerinde bir DD noktası bulunmaktadır.

∣BD∣=9|BD| = 9 cm ve ∣DC∣=21|DC| = 21 cm olduğuna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İkizkenar üçgenin tabanına indirilen dikmenin tabanı iki eş parçaya bölmesi özelliği kullanılarak ∣AD∣=10|AD| = 10 cm bulunur.
Soruyu çözmek için ikizkenar üçgenin en temel özelliği olan 'tabana inen dikmenin tabanı ikiye bölmesi' kullanılır. Öncelikle taban uzunluğu 30 cm bulunur, yarısı 15 cm'dir. Bu sayede 8-15-17 özel üçgeninden yükseklik 8 cm bulunur. Daha sonra oluşan küçük dik üçgende (AHD) kenarlar 6 ve 8 cm olduğu için hipotenüs 10 cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
BC kenarının toplam uzunluğunu hesapla.
∣BC∣=∣BD∣+∣DC∣=9+21=30|BC| = |BD| + |DC| = 9 + 21 = 30 cm.
D noktası BC üzerinde olduğu için parçaların toplamı tabanı verir.
2
A köşesinden BC tabanına bir dikme (yükseklik) indir ve tabanı kestiği noktaya H de.
İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme aynı zamanda kenarortaydır. Bu nedenle ∣BH∣=∣HC∣=30/2=15|BH| = |HC| = 30 / 2 = 15 cm olur.
İkizkenar üçgenin temel özelliği: Tepe açısından inen dikme tabanı ikiye böler.
3
AHC (veya AHB) dik üçgeninde Pisagor bağıntısını kullanarak yüksekliği (|AH|) bul.
∣AH∣2+152=172⇒∣AH∣2+225=289⇒∣AH∣2=64⇒∣AH∣=8|AH|^2 + 15^2 = 17^2 \Rightarrow |AH|^2 + 225 = 289 \Rightarrow |AH|^2 = 64 \Rightarrow |AH| = 8 cm. (8-15-17 özel üçgeni)
Yüksekliği bulmak için dik üçgen oluşturulur.
4
D ile H arasındaki mesafeyi (|HD|) hesapla.
H noktası B'den 15 cm uzaklıktadır. D noktası B'den 9 cm uzaklıktadır. ∣HD∣=∣BH∣−∣BD∣=15−9=6|HD| = |BH| - |BD| = 15 - 9 = 6 cm.
AD uzunluğunu bulmak için AHD dik üçgeninin taban kenarına ihtiyaç vardır.
5
AHD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulayarak |AD|'yi bul.
∣AD∣2=∣AH∣2+∣HD∣2⇒∣AD∣2=82+62⇒∣AD∣2=64+36=100⇒∣AD∣=10|AD|^2 = |AH|^2 + |HD|^2 \Rightarrow |AD|^2 = 8^2 + 6^2 \Rightarrow |AD|^2 = 64 + 36 = 100 \Rightarrow |AD| = 10 cm. (6-8-10 özel üçgeni)
Sonuç adımı.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme hem açıortay hem de kenarortaydır (Yaki Kuralı: Yükseklik-Açıortay-Kenarortay-İkizkenar).

İpuçları

1
İkizkenar üçgen sorularında genellikle tepe açısından tabana bir dikme indirmek çözümü kolaylaştırır.
2
Tepe açısından indirilen dikme, 30 cm uzunluğundaki BC tabanını iki eş parçaya böler.
3
Oluşan dik üçgenlerden birinde 8-15-17 özel üçgenini arayın, ardından AHD üçgeni için 6-8-10 üçgenini kullanın.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 23Soru →

Bir kenar uzunluğu 1515 cm olan ABCABC eşkenar üçgeni şeklindeki bir kağıt, [AB][AB] kenarı üzerindeki DD ve [AC][AC] kenarı üzerindeki EE noktalarından geçen [DE][DE] doğrusu boyunca katlanıyor. Katlama işlemi sonucunda üçgenin AA köşesi, [BC][BC] kenarı üzerindeki KK noktası ile çakışmaktadır. ∣BK∣=3|BK| = 3 cm olduğuna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Aranan ∣AD∣|AD| uzunluğu 7 cm'dir.
Katlama sorularında, katlanan bölgenin simetriği alındığı için uzunluklar ve açılar korunur. AA köşesi KK noktasına geldiğinden ∣AD∣=∣DK∣|AD| = |DK| eşitliği sağlanır. ∣AD∣=x|AD| = x denilirse, ∣DK∣=x|DK| = x ve ∣DB∣=15−x|DB| = 15-x olur. ABCABC eşkenar üçgen olduğundan m(B^)=60∘m(\widehat{B}) = 60^\circ'dir. DBKDBK üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulandığında x2=(15−x)2+32−2(15−x)(3)cos⁡(60∘)x^2 = (15-x)^2 + 3^2 - 2(15-x)(3)\cos(60^\circ) denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde x=7x=7 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Katlama özelliğini kullanarak eşit kenarları belirle.
∣AD∣=∣DK∣=x|AD| = |DK| = x olarak tanımlanır.
Katlama işlemi bir izometridir (eşlik dönüşümü), bu nedenle katlanan kenar uzunlukları korunur.
2
DD noktasının [AB][AB] üzerindeki konumuna göre ∣DB∣|DB| uzunluğunu xx cinsinden ifade et.
∣DB∣=15−x|DB| = 15 - x
Eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu 15 cm verildiği için, ∣AB∣=∣AD∣+∣DB∣=15|AB| = |AD| + |DB| = 15 olmalıdır.
3
DBKDBK üçgeninde Kosinüs Teoremini uygula.
x2=(15−x)2+32−2(15−x)(3)cos⁡(60∘)x^2 = (15-x)^2 + 3^2 - 2(15-x)(3)\cos(60^\circ)
Eşkenar üçgenin BB açısı 60∘60^\circ dir. Kenar uzunlukları xx, (15−x)(15-x) ve 33 olan üçgende xx'i bulmak için bu teorem gereklidir.
4
Denklemi çöz.
x2=(225−30x+x2)+9−3(15−x)x^2 = (225 - 30x + x^2) + 9 - 3(15-x)
x2=234−30x+x2−45+3xx^2 = 234 - 30x + x^2 - 45 + 3x
0=189−27x0 = 189 - 27x
27x=189⇒x=727x = 189 \Rightarrow x = 7
Cebirsel işlemlerle bilinmeyen bulunur.

Anahtar Kavram

Katlama Sorularında Eşlik ve Kosinüs Teoremi

İpuçları

1
Katlama işleminde, katlanan kağıdın boyutları değişmez. ∣AD∣|AD| uzunluğu ile katlandıktan sonra oluşan ∣DK∣|DK| uzunluğu arasındaki ilişkiyi düşünün.
2
∣AD∣=x|AD| = x derseniz, ABCABC eşkenar üçgen olduğu için ∣DB∣|DB| uzunluğunu xx cinsinden yazabilirsiniz. Ayrıca m(B^)=60∘m(\widehat{B}) = 60^\circ olduğunu unutmayın.
3
DBKDBK üçgeninde kenarlar xx, 15−x15-x ve 33 birimdir. 60∘60^\circ'lik açıyı kullanarak Kosinüs Teoremini uygulayın: ∣DK∣2=∣DB∣2+∣BK∣2−2∣DB∣∣BK∣cos⁡(60∘)|DK|^2 = |DB|^2 + |BK|^2 - 2|DB||BK|\cos(60^\circ).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir katlama sorusunu dik üçgen üzerinde deneyerek Pisagor bağıntısını pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

DD noktasından BCBC kenarına bir dikme indirerek (HH noktası), oluşan 30−60−9030-60-90 üçgeni yardımıyla pisagor bağıntısı kullanılarak da çözülebilir. Ancak bu yöntem işlem açısından daha karmaşıktır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 24Soru →

Aşağıdaki şekilde ABCABC bir eşkenar üçgen, BDCBDC ise bir ikizkenar üçgendir. DD noktası, eşkenar üçgenin iç bölgesinde yer almaktadır. ∣BD∣=∣CD∣|BD| = |CD| ve m(BDC^)=100∘m(\widehat{BDC}) = 100^\circ olduğuna göre, m(ABD^)m(\widehat{ABD}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

İstenen açının ölçüsü 20∘20^\circ olarak bulunur.
Eşkenar üçgenin iç açılarının 60∘60^\circ olduğunu bilmek ilk adımdır. İkizkenar üçgende ise tepe açısı 100∘100^\circ verildiğinde, taban açılarının her biri (180−100)/2=40∘(180-100)/2 = 40^\circ olur. İstenen açı, eşkenar üçgenin köşesindeki 60∘60^\circ'lik açıdan bu 40∘40^\circ'lik açının çıkarılmasıyla bulunan 20∘20^\circ değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşkenar üçgenin temel özelliğini hatırla.
m(ABC^)=60∘m(\widehat{ABC}) = 60^\circ
ABCABC bir eşkenar üçgen olduğundan tüm iç açılarının ölçüsü 60∘60^\circ derecedir.
2
BDCBDC ikizkenar üçgeninin taban açılarını hesapla.
m(DBC^)=40∘m(\widehat{DBC}) = 40^\circ
∣BD∣=∣CD∣|BD| = |CD| olduğu için taban açıları eşittir. Üçgenin iç açıları toplamından 180∘−100∘=80∘180^\circ - 100^\circ = 80^\circ kalır. Taban açıları ise 80∘/2=40∘80^\circ / 2 = 40^\circ olur.
3
İstenen m(ABD^)m(\widehat{ABD}) açısını bulmak için çıkarma işlemi yap.
60∘−40∘=20∘60^\circ - 40^\circ = 20^\circ
BB köşesindeki toplam açı eşkenar üçgenden dolayı 60∘60^\circ olduğundan, bu değerden BDCBDC üçgeninin taban açısını çıkararak sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Eşkenar üçgenin tüm iç açılarının 60∘60^\circ olması ve ikizkenar üçgende eşit kenarları gören taban açılarının birbirine eşit olması özellikleri bir arada kullanılır.

İpuçları

1
Eşkenar üçgenin her bir iç açısının kaç derece olduğunu hatırlayarak başlayın.
2
İçerideki BDCBDC ikizkenar üçgeninin taban açılarını, tepe açısı olan 100∘100^\circ bilgisini kullanarak hesaplayın.
3
BB köşesindeki toplam açı 60∘60^\circ olmalıdır. Bulduğunuz ikizkenar üçgen taban açısını bu toplamdan çıkarın.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar üçgen dışarıda verilseydi açılar nasıl değişirdi? Benzer bir soruyu bu şekilde kurgulayarak çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 25Soru →

Bir kenar uzunluğu 12 cm olan ABCABC eşkenar üçgeninin [BC][BC] kenarı üzerinde, 3∣BD∣=∣DC∣3|BD| = |DC| koşulunu sağlayan bir DD noktası işaretleniyor. Buna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3133\sqrt{13}

Cevap

3133\sqrt{13}
Soruda verilen eşkenar üçgenin bir kenarı 12 cm'dir. DD noktasının konumu 3∣BD∣=∣DC∣3|BD|=|DC| oranından ∣BD∣=3|BD|=3 cm olarak bulunur. AA köşesinden tabana indirilen yükseklik (AHAH), tabanı iki eş parçaya böler (∣BH∣=6|BH|=6 cm) ve uzunluğu 636\sqrt{3} cm olur. DD noktası BB ile HH arasında kaldığı için ∣HD∣=6−3=3|HD| = 6-3=3 cm olur. Oluşan AHDAHD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulandığında hipotenüs 3133\sqrt{13} cm olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
BC kenarı üzerindeki parçaların uzunluklarını belirle.
∣BC∣=12|BC| = 12 cm ve 3∣BD∣=∣DC∣3|BD| = |DC| verildiği için, k+3k=12⇒4k=12⇒k=3k + 3k = 12 \Rightarrow 4k=12 \Rightarrow k=3. Yani ∣BD∣=3|BD| = 3 cm ve ∣DC∣=9|DC| = 9 cm bulunur.
Verilen orandan faydalanarak doğru parçalarının uzunluğunu bulmak için.
2
A köşesinden BC kenarına yükseklik indir ve H noktasını işaretle.
Eşkenar üçgende yükseklik tabanı iki eşit parçaya böler. ∣BH∣=∣HC∣=122=6|BH| = |HC| = \frac{12}{2} = 6 cm.
Dik üçgen oluşturarak Pisagor bağıntısını kullanabilmek için.
3
Oluşan dik üçgenin dik kenarlarını hesapla.
Yükseklik ∣AH∣=a32=1232=63|AH| = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} cm'dir. H noktası ile D noktası arasındaki mesafe ise ∣HD∣=∣BH∣−∣BD∣=6−3=3|HD| = |BH| - |BD| = 6 - 3 = 3 cm olur.
AHD dik üçgeninin kenar uzunluklarını belirlemek için.
4
AHD üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula.
∣AD∣2=∣AH∣2+∣HD∣2⇒∣AD∣2=(63)2+32=108+9=117|AD|^2 = |AH|^2 + |HD|^2 \Rightarrow |AD|^2 = (6\sqrt{3})^2 + 3^2 = 108 + 9 = 117. Buradan ∣AD∣=117=9×13=313|AD| = \sqrt{117} = \sqrt{9 \times 13} = 3\sqrt{13} cm bulunur.
İstenen uzunluğu bulmak için.

Anahtar Kavram

Eşkenar üçgende yükseklik tabanı ikiye böler ve 30-60-90 üçgeni oluşturur; bilinmeyen uzunluklar için Pisagor bağıntısı kullanılır.

Alternatif Yöntem

Kosinüs Teoremi ile çözüm: △ABD\triangle ABD üçgeninde ∣AB∣=12|AB|=12, ∣BD∣=3|BD|=3 ve m(B^)=60∘m(\widehat{B})=60^\circ olduğu bilinmektedir. Kosinüs teoremi uygulanırsa: ∣AD∣2=122+32−2⋅12⋅3⋅cos⁡(60∘)=144+9−72⋅(1/2)=153−36=117|AD|^2 = 12^2 + 3^2 - 2 \cdot 12 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) = 144 + 9 - 72 \cdot (1/2) = 153 - 36 = 117. Buradan ∣AD∣=117=313|AD| = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 26Soru →

∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| olan ABCABC ikizkenar üçgeninde m(BAC^)=150∘m(\widehat{BAC}) = 150^\circ'dir. [BC][BC] kenarının uzantısı üzerinde, CC köşesine BB'den daha yakın olan bir PP noktası alınıyor. PP noktasından ACAC doğrusuna inilen dikmenin uzunluğu 22 cm, ABAB doğrusuna inilen dikmenin uzunluğu 88 cm olduğuna göre, ∣AB∣|AB| kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

AB kenarının uzunluğu 12 cm'dir.
İkizkenar üçgende tabanın uzantısı üzerindeki bir noktadan eşit kenarlara inilen dikmelerin uzunlukları farkı, ikizkenarlardan birine ait yüksekliği verir. Bu soruda yükseklik 8−2=68 - 2 = 6 cm olarak bulunur. Tepe açısı 150∘150^\circ olduğundan, bu yükseklik üçgenin dışında 30∘30^\circ'lik bir dik üçgen oluşturur. 30∘30^\circ'nin karşısı 66 ise hipotenüs (yani üçgenin bir kenarı) 1212 cm olur.

Adım Adım Çözüm

1
İkizkenar üçgen özelliğini belirle
İkizkenar üçgenin taban uzantısı üzerindeki bir noktadan eşit kenarlara inilen dikmelerin farkı, eşit kenarlara ait yüksekliğe eşittir: hc=∣PL∣−∣PK∣h_c = |PL| - |PK|.
Nokta taban üzerinde değil, tabanın uzantısında olduğu için dikmelerin toplamı değil farkı alınır.
2
Yüksekliği hesapla
hc=8−2=6h_c = 8 - 2 = 6 cm.
Verilen dikme uzunlukları formülde yerine konur.
3
Geniş açılı üçgenin dış açısını bul
m(BAC^)=150∘m(\widehat{BAC}) = 150^\circ olduğundan, ABAB kenarına ait yükseklik üçgenin dışındadır ve dış açı 180∘−150∘=30∘180^\circ - 150^\circ = 30^\circ'dir.
Yüksekliği kullanarak kenar uzunluğunu bulmak için dik üçgen oluşturulur.
4
30-60-90 üçgeninde kenar uzunluğunu bul
Oluşan dik üçgende 30∘30^\circ'nin karşısı (yükseklik) 66 cm ise, hipotenüs (ACAC) 1212 cm'dir.
sin⁡(30∘)=12=hAC  ⟹  6AC=12\sin(30^\circ) = \frac{1}{2} = \frac{h}{AC} \implies \frac{6}{AC} = \frac{1}{2}.
5
Sonucu belirle
∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| olduğundan, ∣AB∣=12|AB| = 12 cm.
İkizkenar üçgenin eşit kenarları aynı uzunluktadır.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende taban uzantısındaki noktadan inilen dikmelerin farkı özelliğinin geniş açılı üçgen geometrisiyle sentezi.

İpuçları

1
İkizkenar üçgenin tabanının uzantısındaki bir noktadan inilen dikmelerle ilgili özel kuralı hatırlayın: Toplam mı, fark mı?
2
Bu dikmelerin farkı, eşit kenarlardan birine ait yüksekliği verir. Yüksekliği bulduktan sonra açıyı kullanın.
3
Tepe açısı 150∘150^\circ olan ikizkenar üçgenin yüksekliği üçgenin dışındadır ve dış açı 30∘30^\circ'dir. 30-60-90 üçgenini kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, eşkenar üçgenin dışındaki bir noktadan kenarlara inilen dikmelerle ilgili sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Alan formülü ile: Alan(PAB)−Alan(PAC)=Alan(ABC)\text{Alan}(PAB) - \text{Alan}(PAC) = \text{Alan}(ABC) bağıntısından yola çıkarak yükseklik farkı ispatlanabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 27Soru →

ABCABC eşkenar üçgeni ile ∣BC∣=∣CD∣|BC| = |CD| eşitliğini sağlayan BCDBCD ikizkenar üçgeni, BCBC kenarı ortak olacak şekilde birleştirilmiştir. m(BCD^)=100∘m(\widehat{BCD}) = 100^\circ ve DD noktası ABCABC üçgeninin dış bölgesinde kaldığına göre, m(ADC^)m(\widehat{ADC}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10 derecedir
ABCABC üçgeni eşkenar olduğundan ∣BC∣=∣AC∣|BC| = |AC|'dir. Soruda ∣BC∣=∣CD∣|BC| = |CD| verildiği için ∣AC∣=∣CD∣|AC| = |CD| olur ve ACDACD üçgeni ikizkenar bir yapı kazanır. Bu üçgenin tepe açısı m(ACD^)=60∘+100∘=160∘m(\widehat{ACD}) = 60^\circ + 100^\circ = 160^\circ olarak hesaplanır. İç açılar toplamı kuralına göre taban açıları (180∘−160∘)/2=10∘(180^\circ - 160^\circ) / 2 = 10^\circ bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC eşkenar üçgeninin kenar ve açı özelliklerini belirlemek
∣AB∣=∣BC∣=∣AC∣|AB| = |BC| = |AC| ve her bir iç açısı 60∘60^\circ'dir.
Eşkenar üçgenin tanımı gereği tüm kenarlar eşit ve her bir iç açısı 60∘60^\circ'dir.
2
ACDACD üçgeninin kenar eşitliğini ve tepe açısını bulmak
∣AC∣=∣CD∣|AC| = |CD| olduğundan ACDACD ikizkenar bir üçgendir. Tepe açısı m(ACD^)=60∘+100∘=160∘m(\widehat{ACD}) = 60^\circ + 100^\circ = 160^\circ olur.
∣BC∣=∣AC∣|BC| = |AC| (eşkenar) ve ∣BC∣=∣CD∣|BC| = |CD| (verilen) olduğu için ∣AC∣=∣CD∣|AC| = |CD| olur.
3
ACDACD ikizkenar üçgeninde m(ADC^)m(\widehat{ADC}) taban açısını hesaplamak
m(ADC^)=(180∘−160∘)/2=10∘m(\widehat{ADC}) = (180^\circ - 160^\circ) / 2 = 10^\circ bulunur.
Bir üçgenın iç açılar toplamı 180∘180^\circ'dir ve ikizkenar üçgende taban açıları eştir.

Anahtar Kavram

Eşkenar ve ikizkenar üçgenlerin ortak kenar üzerinden açı ilişkileri

İpuçları

1
ABCABC eşkenar üçgeninde ∣BC∣|BC| kenarının ∣AC∣|AC| kenarına eşit olduğunu ve iç açının 60∘60^\circ olduğunu kullanın.
2
∣AC∣=∣CD∣|AC| = |CD| olduğunu görerek ACDACD üçgeninin bir ikizkenar üçgen olduğunu fark edin.
3
ACDACD üçgeninin tepe açısı 160∘160^\circ olduğuna göre, taban açılarını hesaplamak için iç açılar toplamından yararlanın.

Daha Fazla Pratik

DD noktasının üçgenin içinde olması durumunda açının nasıl değişeceğini düşünerek konuyu pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 28Soru →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=∣BC∣|AB| = |BC| ve m(ABC^)=80∘m(\widehat{ABC}) = 80^\circ olduğu bilinmektedir. Buna göre, m(BAC^)m(\widehat{BAC}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

İkizkenar üçgenin taban açılarının eşitliği kuralına göre m(BAC^)=50∘m(\widehat{BAC}) = 50^\circ olmalıdır.
Verilen üçgende ∣AB∣=∣BC∣|AB| = |BC| olduğu için bu bir ikizkenar üçgendir ve tabanı ACAC kenarıdır. İkizkenar üçgenin özelliğine göre taban açıları olan m(BAC^)m(\widehat{BAC}) ve m(BCA^)m(\widehat{BCA}) birbirine eşittir. Üçgenin iç açıları toplamı 180∘180^\circ olduğundan, tepe açısı olan 80∘80^\circ çıkarıldığında geriye kalan 100∘100^\circ iki eşit açıya paylaştırılır. Bu durumda 100/2=50100 / 2 = 50 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşit kenarları ve tabanı belirleme
Taban ACAC kenarıdır.
∣AB∣=∣BC∣|AB| = |BC| verildiği için bu kenarları birleştiren BB noktası tepe noktasıdır ve karşıdaki ACAC kenarı tabandır.
2
Taban açılarının eşitliğini kullanma
m(BAC^)=m(BCA^)=xm(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BCA}) = x olsun.
İkizkenar üçgende eşit kenarların karşılarındaki açılar birbirine eşittir.
3
Üçgenin iç açılar toplamı formülünü uygulama
x+x+80∘=180∘x + x + 80^\circ = 180^\circ
Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı her zaman 180∘180^\circ'dir.
4
Denklemi çözme
2x=100∘2x = 100^\circ ise x=50∘x = 50^\circ
Tepe açısı toplamdan çıkarılır ve kalan miktar iki eşit taban açısına paylaştırılır.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki taban açıları birbirine eşittir.

İpuçları

1
Eşit kenarları gören açıların da eşit olması gerektiğini hatırla.
2
Hangi kenarların eşit olduğuna bakarak tabanı ve taban açılarını belirle.
3
İç açılar toplamı olan 180∘180^\circ'den tepe açısını çıkarıp sonucu ikiye bölmelisin.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar bir üçgende taban açılarından biri verildiğinde tepe açısını bulmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 29Soru →

ABCABC bir ikizkenar üçgendir. ∣AB∣=∣AC∣=13|AB| = |AC| = 13 cm ve ∣BC∣=10|BC| = 10 cm olarak verilmiştir. [BC][BC] kenarı üzerinde, BB köşesine 22 cm uzaklıkta bir DD noktası alınıyor. Buna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3173\sqrt{17}

Cevap

3173\sqrt{17}
İkizkenar üçgende tepe noktasından tabana indirilen dikme, tabanı iki eş parçaya böler (∣BH∣=∣HC∣=5|BH|=|HC|=5). Bu sayede oluşan 5-12-13 üçgeninden yükseklik 12 cm bulunur. Daha sonra ∣DH∣=3|DH|=3 cm olduğu görülür ve Pisagor bağıntısı ile ∣AD∣=317|AD|=3\sqrt{17} hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
AA köşesinden [BC][BC] tabanına bir dikme indirilir ve bu noktaya HH denir.
AH⊥BCAH \perp BC
İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme, tabanı iki eş parçaya böler.
2
Tabanın yarısı ve yükseklik hesaplanır.
∣BH∣=∣HC∣=10/2=5|BH| = |HC| = 10/2 = 5 cm. ABHABH üçgeninde Pisagor bağıntısı: ∣AH∣2+52=132⇒∣AH∣=12|AH|^2 + 5^2 = 13^2 \Rightarrow |AH| = 12 cm.
5-12-13 özel dik üçgeni oluşur.
3
DD noktasının HH noktasına olan uzaklığı bulunur.
∣DH∣=∣BH∣−∣BD∣=5−2=3|DH| = |BH| - |BD| = 5 - 2 = 3 cm.
DD noktası BB ile HH arasındadır.
4
ADHADH dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanır.
∣AD∣2=∣AH∣2+∣DH∣2=122+32=144+9=153|AD|^2 = |AH|^2 + |DH|^2 = 12^2 + 3^2 = 144 + 9 = 153. ∣AD∣=153=317|AD| = \sqrt{153} = 3\sqrt{17} cm.
Sonucu bulmak için dik üçgen özelliği kullanılır.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme hem açıortay hem de kenarortaydır (Yaki Kuralı).

İpuçları

1
İkizkenar üçgen sorularında genellikle tepe noktasından tabana dikme indirmek çözümü kolaylaştırır.
2
İndirilen dikme tabanı iki eşit parçaya böler. ∣BH∣|BH| uzunluğunu bularak başlayın.
3
Yüksekliği bulduktan sonra, oluşan yeni küçük dik üçgende (ADHADH) Pisagor bağıntısını kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu eşkenar üçgen üzerinde, kenar üzerinden alınan bir nokta ile deneyiniz.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi ile de çözülebilir: ABCABC üçgeninde cos⁡(B)=5/13\cos(B) = 5/13. ABDABD üçgeninde kosinüs teoremi: ∣AD∣2=132+22−2⋅13⋅2⋅(5/13)=169+4−20=153|AD|^2 = 13^2 + 2^2 - 2 \cdot 13 \cdot 2 \cdot (5/13) = 169 + 4 - 20 = 153.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 30Soru →

ABCABC ikizkenar üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| ve m(BAC^)=30∘m(\widehat{BAC}) = 30^\circ dir. [BC][BC] tabanı üzerinde alınan bir DD noktasından [AB][AB] ve [AC][AC] kenarlarına indirilen dikmelerin uzunlukları sırasıyla 33 cm ve 55 cm'dir. Buna göre, ABCABC üçgeninin eşit kenarlarından birinin uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Eşit kenarlardan birinin uzunluğu 16 cm'dir.
İkizkenar üçgen özelliği gereği, taban üzerindeki DD noktasından ∣AB∣|AB| ve ∣AC∣|AC| kenarlarına çizilen dikmelerin toplamı (3+5=83+5=8), bu kenarlara ait yüksekliğe eşittir. Tepe açısı 30∘30^\circ olan bir dik üçgende (yüksekliğin oluşturduğu üçgen), 30∘30^\circ'nin karşısındaki yükseklik (88 cm), hipotenüsün (üçgenin kenarı) yarısıdır. Bu durumda kenar 1616 cm olur.

Adım Adım Çözüm

1
İkizkenar üçgen özelliğini uygula.
h=3+5=8h = 3 + 5 = 8 cm
İkizkenar üçgende tabandan kenarlara çizilen dikmelerin toplamı (DE+DFDE + DF), kenara ait yüksekliğe (hbh_b veya hch_c) eşittir.
2
Yükseklik ile kenar arasındaki ilişkiyi kur.
h=∣AC∣⋅sin⁡(30∘)h = |AC| \cdot \sin(30^\circ)
Bir üçgende yükseklik, hipotenüs (kenar) ile tepe açısının sinüsünün çarpımına eşittir.
3
Kenar uzunluğunu hesapla.
8=∣AC∣⋅12⇒∣AC∣=168 = |AC| \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow |AC| = 16 cm
sin⁡(30∘)=1/2\sin(30^\circ) = 1/2 değerini yerine koyarak ∣AC∣|AC| (ve dolayısıyla ∣AB∣|AB|) uzunluğunu buluruz.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende taban üzerinden yan kenarlara indirilen dikmelerin toplamı yan kenara ait yüksekliği verir.

İpuçları

1
İkizkenar üçgende tabandan kenarlara çizilen dikmelerin toplamı ile kenara ait yükseklik arasındaki ilişkiyi hatırlayın.
2
Dikmelerin toplamı 8 cm'dir. Bu 8 cm, yan kenara ait yüksekliğe eşittir.
3
Yüksekliği 8 cm ve tepe açısı 30 derece olan bir dik üçgende yan kenar hipotenüs durumundadır.

Daha Fazla Pratik

Tepe açısı 45∘45^\circ veya 60∘60^\circ olan benzer senaryolarla pratik yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 2
İkizkenar ve Eşkenar Üçgen Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2 | Examkin